Ciąg (teoria grup)

Ciąg – jedno z kilku powiązanych pojęć teorii grup pomocne przy badaniu struktury danej grupy; zwykle przez „ciąg” rozumie się opisany dalej ciąg podnormalny. W ogólności ciągiem podgrup danej grupy nazywa się po prostu łańcuch jej podgrup; ciągi podgrup są przypadkiem szczególnym filtracji znanej z algebry abstrakcyjnej.

Definicje

 Zobacz też: podgrupa normalna i grupa ilorazowa.

Niech H ⩽ G , {\displaystyle H\leqslant G,} czyli H {\displaystyle H} będzie podgrupą w grupie G . {\displaystyle G.} Skończony ciąg podgrup grupy G , {\displaystyle G,} włączając w to H {\displaystyle H} oraz G , {\displaystyle G,} nazywa się ciągiem (podnormalnym) od H {\displaystyle H} do G {\displaystyle G} (lub między H {\displaystyle H} a G {\displaystyle G} ), jeżeli każda grupa w ciągu jest podgrupą normalną poprzedniej, tzn.

H = H 0 ⊴ H 1 ⊴ … ⊴ H n − 1 ⊴ H n = G ( 1 ) {\displaystyle H=H_{0}\trianglelefteq H_{1}\trianglelefteq \ldots \trianglelefteq H_{n-1}\trianglelefteq H_{n}=G\qquad (1)}

Podgrupy H 0 , H 1 , … , H n − 1 , H n {\displaystyle H_{0},H_{1},\ldots ,H_{n-1},H_{n}} nazywa się wyrazami ciągu ( 1 ) . {\displaystyle (1).} Grupy ilorazowe H 1 / H 0 , H 2 / H 1 , … , H n / H n − 1 {\displaystyle H_{1}/H_{0},H_{2}/H_{1},\ldots ,H_{n}/H_{n-1}} nazywa się ilorazami ciągu ( 1 ) . {\displaystyle (1).} Ciąg od podgrupy trywialnej E {\displaystyle E} do podgrupy niewłaściwej G {\displaystyle G} nazywa się krótko ciągiem grupy G . {\displaystyle G.} Liczbę wyrazów ciągu nazywa się jego długością.

Jeżeli każdy z wyrazów H 0 , H 1 , … , H n − 1 , H n {\displaystyle H_{0},H_{1},\ldots ,H_{n-1},H_{n}} ciągu ( 1 ) {\displaystyle (1)} jest normalny w G , {\displaystyle G,} to ciąg ( 1 ) {\displaystyle (1)} również nazywa się ciągiem normalnym; zastępując normalność warunkiem charakterystyczności otrzymuje się definicję ciągu charakterystycznego.

W ciągu ( 1 ) {\displaystyle (1)} mogą istnieć powtórzenia; jeżeli jednak H i − 1 ◃ H i {\displaystyle H_{i-1}\triangleleft H_{i}} dla każdego i = 1 , … , n , {\displaystyle i=1,\dots ,n,} to ciąg ( 1 ) {\displaystyle (1)} nazywa się ciągiem właściwym. Ciąg

H = J 0 ⊴ J 1 ⊴ … ⊴ J n − 1 ⊴ J n = G ( 2 ) {\displaystyle H=\,J_{0}\trianglelefteq \,J_{1}\trianglelefteq \ldots \trianglelefteq \,J_{n-1}\trianglelefteq \,J_{n}=G\qquad (2)}

od H {\displaystyle H} do G {\displaystyle G} nazywa się zagęszczeniem (lub rozdrobnieniem) ciągu ( 1 ) , {\displaystyle (1),} jeżeli każdy wyraz ciągu ( 1 ) {\displaystyle (1)} jest również wyrazem ciągu ( 2 ) . {\displaystyle (2).} Rozdrobnienie ciągu ( 1 ) {\displaystyle (1)} otrzymuje się więc z ( 1 ) {\displaystyle (1)} poprzez wstawienie dodatkowych grupy między pewne kolejne wyrazy tego ciągu, przy czym nie muszą być one różne od wyrazów ( 1 ) {\displaystyle (1)} [a]. Jeżeli jednak ( 2 ) {\displaystyle (2)} jest zagęszczeniem ( 1 ) {\displaystyle (1)} i przynajmniej jeden z wyrazów ( 2 ) {\displaystyle (2)} nie jest wyrazem ( 1 ) , {\displaystyle (1),} to ( 2 ) {\displaystyle (2)} nazywa się zagęszczeniem właściwym ciągu ( 1 ) . {\displaystyle (1).}

Ciąg kompozycyjny

Ciąg grupy G {\displaystyle G} nazywa się ciągiem kompozycyjnym G , {\displaystyle G,} jeżeli jest on ciągiem właściwym G {\displaystyle G} bez zagęszczenia właściwego. Ilorazy ciągu kompozycyjnego G {\displaystyle G} nazywa się krótko ilorazami grupy G . {\displaystyle G.} Ciąg

E = G 0 ⊴ G 1 ⊴ … ⊴ G n − 1 ⊴ G n = G {\displaystyle E=G_{0}\trianglelefteq G_{1}\trianglelefteq \ldots \trianglelefteq G_{n-1}\trianglelefteq G_{n}=G}

grupy G {\displaystyle G} jest ciągiem kompozycyjnym G {\displaystyle G} wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ilorazy G i / G i − 1 {\displaystyle G_{i}/G_{i-1}} ( i = 1 , 2 , … , n ) {\displaystyle (i=1,2,\dots ,n)} są proste[b].

Równoważność

Niech G {\displaystyle G} będzie grupą. Dwa ciągi

E = G 0 ⊴ ⋯ ⊴ G n = G {\displaystyle E=G_{0}\trianglelefteq \dots \trianglelefteq G_{n}=G}

oraz

E = H 0 ⊴ ⋯ ⊴ H m = G {\displaystyle E=H_{0}\trianglelefteq \dots \trianglelefteq H_{m}=G}

grupy G {\displaystyle G} nazywa się równoważnymi, jeżeli n = m {\displaystyle n=m} oraz ilorazy G i / G i − 1 {\displaystyle G_{i}/G_{i-1}} są, w pewnym porządku, izomorficzne do ilorazów H j / H j − 1 {\displaystyle H_{j}/H_{j-1}} ( i , j = 1 , 2 , … , n ) . {\displaystyle (i,j=1,2,\dots ,n).}

Uwaga
W powyższej definicji nie żąda się, by G i / G i − 1 = H i / H i − 1 {\displaystyle G_{i}/G_{i-1}=H_{i}/H_{i-1}} dla wszystkich i = 1 , 2 , … , n ; {\displaystyle i=1,2,\dots ,n;} warunek mówi jedynie, że G i / G i − 1 = H σ ( i ) / H σ ( i ) − 1 {\displaystyle G_{i}/G_{i-1}=H_{\sigma (i)}/H_{\sigma (i)-1}} dla pewnej permutacji σ ∈ S n . {\displaystyle \sigma \in S_{n}.} Wprowadza ona ponadto relację równoważności w zbiorze wszystkich ciągów G . {\displaystyle G.}

Ciągi kompozycyjne grupy są równoważne, o ile tylko grupa ma choć jeden, o czym mówi twierdzenie Jordana-Höldera; w istocie zachodzi dużo mocniejsze twierdzenie Schreiera zapewniające, że wszystkie ciągi grupy mają równoważne zagęszczenia.

Ciąg abelowy

 Osobny artykuł: grupa rozwiązalna.

Ciąg

H = H 0 ⊴ H 1 ⊴ … ⊴ H m − 1 ⊴ H m = G {\displaystyle H=H_{0}\trianglelefteq H_{1}\trianglelefteq \ldots \trianglelefteq H_{m-1}\trianglelefteq H_{m}=G}

od H {\displaystyle H} do G {\displaystyle G} nazywa się ciągiem abelowym, jeżeli wszystkie jego ilorazy H 1 / H 0 , H 2 / H 1 , … , H m / H m − 1 {\displaystyle H_{1}/H_{0},H_{2}/H_{1},\dots ,H_{m}/H_{m-1}} są grupami abelowymi (przemiennymi). Grupy, które mają ciąg abelowy, nazywa się rozwiązalnymi.

Ciąg centralny

 Osobny artykuł: grupa nilpotentna.

Ciąg

H = H 0 ⊴ H 1 ⊴ … ⊴ H m − 1 ⊴ H m = G {\displaystyle H=H_{0}\trianglelefteq H_{1}\trianglelefteq \ldots \trianglelefteq H_{m-1}\trianglelefteq H_{m}=G}

od H {\displaystyle H} do G {\displaystyle G} nazywa się ciągiem centralnym, jeżeli wszystkie jego ilorazy H 1 / H 0 , H 2 / H 1 , … , H m / H m − 1 {\displaystyle H_{1}/H_{0},H_{2}/H_{1},\dots ,H_{m}/H_{m-1}} są podgrupami centralnymi, tzn. [ G , H i + 1 ] ⩽ H i {\displaystyle [G,H_{i+1}]\leqslant H_{i}} (dla i = 1 , … , m ; {\displaystyle i=1,\dots ,m;} gdzie [ G , K ] {\displaystyle [G,K]} oznacza komutant). Grupy, które mają ciąg centralny, nazywa się nilpotentnymi.

Ponieważ [ G , H i ] ⩽ H i − 1 ⩽ H i , {\displaystyle [G,H_{i}]\leqslant H_{i-1}\leqslant H_{i},} to w szczególności H i {\displaystyle H_{i}} jest normalna w G ; {\displaystyle G;} dlatego równoważnie warunek centralności można zastąpić wymaganiem, by ilorazy H i / H i − 1 {\displaystyle H_{i}/H_{i-1}} były przemienne ze wszystkimi ilorazami G / H i {\displaystyle G/H_{i}} ( i = 1 , … , m ) . {\displaystyle (i=1,\dots ,m).}

Przykłady

Literą E {\displaystyle E} oznaczana będzie niżej podgrupa trywialna odpowiedniej grupy.

  • E ◃ S 3 {\displaystyle E\triangleleft S_{3}} jest ciągiem grupy symetrycznej S 3 , {\displaystyle S_{3},} a E ◃ A 3 ◃ S 3 {\displaystyle E\triangleleft A_{3}\triangleleft S_{3}} jest zagęszczeniem (zawierającym grupę alternującą A 3 {\displaystyle A_{3}} ), które jest zarazem ciągiem kompozycyjnym S 3 , {\displaystyle S_{3},} ponieważ ilorazy A 3 / E ≃ A 3 ( ≃ C 3 ) {\displaystyle A_{3}/E\simeq A_{3}\,(\simeq C_{3})} oraz S 3 / A 3 ≃ C 2 {\displaystyle S_{3}/A_{3}\simeq C_{2}} są proste (w pierwszym przypadku: grupa przemienna jest prosta wtedy i tylko wtedy, gdy jest cykliczna i rzędu będącego liczbą pierwszą; w drugim: z powyższej charakteryzacji). Jest to w istocie jedyny ciąg kompozycyjny tej grupy.
  • E ◃ V 4 ◃ A 4 ◃ S 4 {\displaystyle E\triangleleft V_{4}\triangleleft A_{4}\triangleleft S_{4}} jest ciągiem normalnym grupy S 4 . {\displaystyle S_{4}.} Nie jest on jednak ciągiem kompozycyjnym S 4 , {\displaystyle S_{4},} ponieważ można go zagęścić wstawiając jedną z podgrup U 1 = { ι , ( 12 ) ( 34 ) } {\displaystyle U_{1}=\{\iota ,(12)(34)\}} lub U 2 = { ι , ( 13 ) ( 24 ) } {\displaystyle U_{2}=\{\iota ,(13)(24)\}} bądź U 1 = { ι , ( 14 ) ( 23 ) } {\displaystyle U_{1}=\{\iota ,(14)(23)\}} między E = { ι } {\displaystyle E=\{\iota \}} a V 4 = { ι , ( 12 ) ( 34 ) , ( 13 ) ( 24 ) , ( 14 ) ( 23 ) } {\displaystyle V_{4}=\{\iota ,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}} (zob. grupa czwórkowa Kleina). Każdy z trzech ciągów E ◃ U i ◃ V 4 ◃ A 4 ◃ S 4 {\displaystyle E\triangleleft U_{i}\triangleleft V_{4}\triangleleft A_{4}\triangleleft S_{4}} jest ciągiem kompozycyjnym S 4 {\displaystyle S_{4}} ( i = 1 , 2 , 3 ) , {\displaystyle (i=1,2,3),} przy czym są to wszystkie ciągi kompozycyjne tej grupy.
  • Nie każda grupa ma ciąg kompozycyjny, przykładem jest Z . {\displaystyle \mathbb {Z} .} Istotnie, dowolny ciąg ma postać
0 Z ◃ m 1 Z ◃ m 2 Z ◃ … ◃ m n Z ◃ Z ( 3 ) {\displaystyle 0\mathbb {Z} \triangleleft m_{1}\mathbb {Z} \triangleleft m_{2}\mathbb {Z} \triangleleft \ldots \triangleleft m_{n}\mathbb {Z} \triangleleft \mathbb {Z} \qquad (3)}
gdzie m 2 | m 1 , m 3 | m 2 , … , m n | m n − 1 . {\displaystyle m_{2}|m_{1},m_{3}|m_{2},\dots ,m_{n}|m_{n-1}.} Jeśli m 0 {\displaystyle m_{0}} jest wielokrotnością m 1 {\displaystyle m_{1}} oraz m 0 ≠ m 1 , {\displaystyle m_{0}\neq m_{1},} to
0 Z ◃ m 0 Z ◃ m 1 Z ◃ m 2 Z ◃ … ◃ m n Z ◃ Z {\displaystyle 0\mathbb {Z} \triangleleft m_{0}\mathbb {Z} \triangleleft m_{1}\mathbb {Z} \triangleleft m_{2}\mathbb {Z} \triangleleft \ldots \triangleleft m_{n}\mathbb {Z} \triangleleft \mathbb {Z} }
jest właściwym zagęszczeniem ( 3 ) {\displaystyle (3)} (symbol 0 Z = { 0 ¯ } {\displaystyle 0\mathbb {Z} =\left\{{\bar {0}}\right\}} oznacza tu podgrupę trywialną). Wówczas dowolny ciąg Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ma zagęszczenie właściwe. Dlatego żaden ciąg Z {\displaystyle \mathbb {Z} } nie może być ciągiem kompozycyjnym tej grupy.
Diagram podzielności liczby 12.
  • Niech ⟨ a ⟩ {\displaystyle \langle a\rangle } będzie grupą cykliczną rzędu 12. Wtedy
⟨ a 12 ⟩ ◃ ⟨ a 6 ⟩ ◃ ⟨ a 2 ⟩ ◃ ⟨ a 1 ⟩ , ⟨ a 12 ⟩ ◃ ⟨ a 6 ⟩ ◃ ⟨ a 3 ⟩ ◃ ⟨ a 1 ⟩ , ⟨ a 12 ⟩ ◃ ⟨ a 4 ⟩ ◃ ⟨ a 2 ⟩ ◃ ⟨ a 1 ⟩ {\displaystyle \langle a^{12}\rangle \triangleleft \langle a^{6}\rangle \triangleleft \langle a^{2}\rangle \triangleleft \langle a^{1}\rangle ,\quad \langle a^{12}\rangle \triangleleft \langle a^{6}\rangle \triangleleft \langle a^{3}\rangle \triangleleft \langle a^{1}\rangle ,\quad \langle a^{12}\rangle \triangleleft \langle a^{4}\rangle \triangleleft \langle a^{2}\rangle \triangleleft \langle a^{1}\rangle }
są ciągami kompozycyjnymi ⟨ a 1 ⟩ = ⟨ a ⟩ {\displaystyle \langle a^{1}\rangle =\langle a\rangle } (przy czym ⟨ a 12 ⟩ = { a 0 } {\displaystyle \langle a^{12}\rangle =\{a^{0}\}} jest podgrupą trywialną). Ilorazy kompozycyjne są izomorficzne odpowiednio z C 2 , C 3 , C 2 ;   C 2 , C 2 , C 3 ;   C 3 , C 2 , C 2 . {\displaystyle C_{2},C_{3},C_{2};\ C_{2},C_{2},C_{3};\ C_{3},C_{2},C_{2}.} Zatem nie biorąc pod uwagę kolejności, ilorazy kompozycyjne powstające z różnych ciągów kompozycyjnych są grupami izomorficznymi – ciągi te są zatem równoważne.

Zobacz też

Uwagi

  1. ↑ Przykładowo A ⊴ B ⊴ B ⊴ C {\displaystyle A\trianglelefteq B\trianglelefteq B\trianglelefteq C} jest zagęszczeniem A ⊴ B ⊴ C . {\displaystyle A\trianglelefteq B\trianglelefteq C.}
  2. ↑ Niech dany ciąg będzie ciągiem kompozycyjnym G . {\displaystyle G.} Z definicji jest to ciąg właściwy. Dlatego G i − 1 ◃ G i {\displaystyle G_{i-1}\triangleleft G_{i}} i wszystkie ilorazy G i / G i − 1 {\displaystyle G_{i}/G_{i-1}} są różne od grupy trywialnej ( i = 1 , 2 , … , n ) . {\displaystyle (i=1,2,\dots ,n).} Jeśli jeden z ilorazów, np. G j / G j − 1 , {\displaystyle G_{j}/G_{j-1},} nie byłby prosty, to G j / G j − 1 , {\displaystyle G_{j}/G_{j-1},} miałoby nietrywialną właściwą podgrupę normalną, którą można zapisać jako H / G j − 1 , {\displaystyle H/G_{j-1},} gdzie G j − 1 < H < G j {\displaystyle G_{j-1}<H<G_{j}} (na podstawie charakteryzacji podgrup grupy ilorazowej). Dlatego G j − 1 ◃ H ◃ G j {\displaystyle G_{j-1}\triangleleft H\triangleleft G_{j}} (w istocie G j − 1 ◃ G j {\displaystyle G_{j-1}\triangleleft G_{j}} ) i dany ciąg ma właściwe zagęszczenie uzyskane poprzez wstawienie H {\displaystyle H} między G j − 1 {\displaystyle G_{j-1}} a G j {\displaystyle G_{j}} wbrew założeniu, że ciąg jest kompozycyjny. Zatem wszystkie G i / G i − 1 {\displaystyle G_{i}/G_{i-1}} są proste ( i = 1 , 2 , … , n ) . {\displaystyle (i=1,2,\dots ,n).}
    Odwrotnie: niech wszystkie ilorazy G i / G i − 1 {\displaystyle G_{i}/G_{i-1}} będą proste ( i = 1 , 2 , … , n ) . {\displaystyle (i=1,2,\dots ,n).} Wtedy G i / G i − 1 {\displaystyle G_{i}/G_{i-1}} są nietrywialne i G i − 1 ◃ G i {\displaystyle G_{i-1}\triangleleft G_{i}} dla wszystkich i = 1 , 2 , … , n . {\displaystyle i=1,2,\dots ,n.} Zatem dany ciąg jest właściwy. Jeśli nie byłby to ciąg kompozycyjny, to miałby on zagęszczenie właściwe. Dla ustalenia uwagi można założyć, że takie zagęszczenie ma wyraz H {\displaystyle H} między G j {\displaystyle G_{j}} a G j − 1 , {\displaystyle G_{j-1},} czyli G j − 1 ◃ H ◃ G j . {\displaystyle G_{j-1}\triangleleft H\triangleleft G_{j}.} Zgodnie z charakteryzacją podgrup grupy ilorazowej H / G j − 1 {\displaystyle H/G_{j-1}} byłoby nietrywialną właściwą podgrupą normalną w G j / G j − 1 , {\displaystyle G_{j}/G_{j-1},} wbrew założeniu, że wszystkie ilorazy, w tym G j / G j − 1 , {\displaystyle G_{j}/G_{j-1},} są proste. Zatem dany ciąg musi być kompozycyjny.

Bibliografia