Lemat Zassenhausa

Lemat Zassenhausa (także: lemat motyla) – techniczny wynik teorii grup dotyczący kraty podgrup danej grupy, w uogólnieniach również kraty podmodułów ustalonego modułu lub, ogólnie, dowolnej kraty modularnej[1]. „Motyla” można dojrzeć na diagramie Hassego grup biorących udział w twierdzeniu.

Hans Julius Zassenhaus udowodnił lemat, mając na celu podanie czytelniejszej postaci dowodu twierdzenia Shreiera; można go też uzyskać z ogólniejszego wyniku znanego jako twierdzenie Goursata dla rozmaitości Goursata (których przykładem są grupy), wykorzystując prawo modularności Dedekinda[2]. Twierdzenie zachodzi w szczególności również dla grup z operatorami: w sformułowaniu wystarczy zamienić podgrupy normalne na podgrupy stabilne.

Lemat

Diagram Hassego do lematu Zassenhausa obrazujący określenie „lemat motyla” (niestandardowo większe podgrupy znajdują się na dole diagramu, a mniejsze – na górze).

Niech G {\displaystyle G} będzie grupą, a A {\displaystyle A} oraz C {\displaystyle C} jej podgrupami; ponadto niech B ⊴ A {\displaystyle B\trianglelefteq A} oraz D ⊴ C {\displaystyle D\trianglelefteq C} będą podgrupami normalnymi, wówczas

B ( A ∩ D ) ⊴ B ( A ∩ C ) oraz D ( B ∩ C ) ⊴ D ( A ∩ C ) {\displaystyle B(A\cap D)\trianglelefteq B(A\cap C)\quad {\text{oraz}}\quad D(B\cap C)\trianglelefteq D(A\cap C)}

i ma miejsce izomorfizm

B ( A ∩ C ) / B ( A ∩ D ) ≃ D ( A ∩ C ) / D ( B ∩ C ) . {\displaystyle B(A\cap C){\big /}B(A\cap D)\simeq D(A\cap C){\big /}D(B\cap C).}

Dowód

Niech U V ^ := U ∩ V . {\displaystyle {\widehat {UV}}:=U\cap V.} Ponieważ B ⊴ A , {\displaystyle B\trianglelefteq A,} to[a] B ∩ C ⊴ A ∩ C , {\displaystyle B\cap C\trianglelefteq A\cap C,} czyli B C ^ ⊴ A C ^ ; {\displaystyle {\widehat {BC}}\trianglelefteq {\widehat {AC}};} podobnie dla C ⊴ D {\displaystyle C\trianglelefteq D} jest A D ^ ⊴ A C ^ . {\displaystyle {\widehat {AD}}\trianglelefteq {\widehat {AC}}.} Jako że B C ^ ⊴ A C ^ {\displaystyle {\widehat {BC}}\trianglelefteq {\widehat {AC}}} oraz A D ^ ⊴ A C ^ , {\displaystyle {\widehat {AD}}\trianglelefteq {\widehat {AC}},} zapisując dla zwięzłości E = B C ^ A D ^ = A D ^ B C ^ , {\displaystyle E={\widehat {BC}}\,{\widehat {AD}}={\widehat {AD}}\,{\widehat {BC}},} to zachodzi E ⊴ A C ^ {\displaystyle E\trianglelefteq {\widehat {AC}}} (jako iloczyn prosty, zob. iloczyn kompleksowy).

Ponieważ E ⊴ A C ^ ⩽ A {\displaystyle E\trianglelefteq {\widehat {AC}}\leqslant A} oraz B ⊴ A , {\displaystyle B\trianglelefteq A,} to[b]

B E ⊴ B A C ^ oraz B A C ^ / B E ≃ A C ^ / E ( B ∩ A C ^ ) . ( 1 ) {\displaystyle BE\trianglelefteq B{\widehat {AC}}\quad {\text{oraz}}\quad B{\widehat {AC}}/BE\simeq {\widehat {AC}}/E(B\cap {\widehat {AC}}).\qquad (1)}

Teraz B E = B ( B C ^ A D ^ ) = ( B B C ^ ) A D ^ = B A D ^ {\displaystyle BE=B({\widehat {BC}}\,{\widehat {AD}})=(B{\widehat {BC}}){\widehat {AD}}=B{\widehat {AD}}} oraz E ( B ∩ A C ^ ) = E {\displaystyle E(B\cap {\widehat {AC}})=E} (ponieważ B ∩ A C ^ = B C ^ ⊆ E {\displaystyle B\cap {\widehat {AC}}={\widehat {BC}}\subseteq E} ), a więc z (1) wynika

B A D ^ ⊴ B A C ^ oraz B A C ^ / B A D ^ ≃ A C ^ / E . ( 2 ) {\displaystyle B{\widehat {AD}}\trianglelefteq B{\widehat {AC}}\quad {\text{oraz}}\quad B{\widehat {AC}}/B{\widehat {AD}}\simeq {\widehat {AC}}/E.\qquad (2)}

Powtarzając to samo rozumowanie dla A , B {\displaystyle A,B} zastąpionymi odpowiednio C , D , {\displaystyle C,D,} uzyskuje się

D B C ^ ⊴ D A C ^ oraz D A C ^ / D B C ^ ≃ A C ^ / E . ( 3 ) {\displaystyle D{\widehat {BC}}\trianglelefteq D{\widehat {AC}}\quad {\text{oraz}}\quad D{\widehat {AC}}/D{\widehat {BC}}\simeq {\widehat {AC}}/E.\qquad (3)}

Teza wynika z połączenia (2) oraz (3).

Zobacz też

Uwagi

  1. ↑ Lemat 1. Niech B ⊴ A ⩽ G {\displaystyle B\trianglelefteq A\leqslant G} oraz C ⩽ G . {\displaystyle C\leqslant G.} Wówczas B ∩ C ⊴ A ∩ C {\displaystyle B\cap C\trianglelefteq A\cap C} oraz A ∩ C / B ∩ C ≃ B ( C ∩ A ) / B . {\displaystyle A\cap C/B\cap C\simeq B(C\cap A)/B.}
    Dowód. Drugie twierdzenie o izomorfizmie mówi, że jeśli G {\displaystyle G} jest grupą, a H ⊴ G {\displaystyle H\trianglelefteq G} oraz K ⩽ G , {\displaystyle K\leqslant G,} to H ∩ K ⊴ K {\displaystyle H\cap K\trianglelefteq K} oraz K / H ∩ K {\displaystyle K/H\cap K} jest izomorficzna z H K / H . {\displaystyle HK/H.}
    Stosując to twierdzenie dla G , H , K {\displaystyle G,H,K} zastąpionych odpowiednio A , B , A ∩ C , {\displaystyle A,B,A\cap C,} otrzymuje się B ∩ ( A ∩ C ) ⊴ A ∩ C {\displaystyle B\cap (A\cap C)\trianglelefteq A\cap C} oraz A ∩ C / B ∩ ( A ∩ C ) ≃ B ( A ∩ C ) / B . {\displaystyle A\cap C/B\cap (A\cap C)\simeq B(A\cap C)/B.} Skoro B ∩ ( A ∩ C ) = B ∩ C , {\displaystyle B\cap (A\cap C)=B\cap C,} a B ( A ∩ C ) = B ( C ∩ A ) , {\displaystyle B(A\cap C)=B(C\cap A),} to zachodzi teza.
  2. ↑ Lemat 2. Niech A ⊴ C ⩽ G {\displaystyle A\trianglelefteq C\leqslant G} oraz B ⊴ G . {\displaystyle B\trianglelefteq G.} Wówczas B A ⊴ B C {\displaystyle BA\trianglelefteq BC} oraz B C / B A ≃ C / A ( B ∩ C ) . {\displaystyle BC/BA\simeq C/A(B\cap C).}
    Dowód. Ponieważ B ⊴ G , {\displaystyle B\trianglelefteq G,} to wiadomo, że A B = B A ⩽ G {\displaystyle AB=BA\leqslant G} oraz C B = B C ⩽ G . {\displaystyle CB=BC\leqslant G.} Zatem B A ⩽ B C . {\displaystyle BA\leqslant BC.} Należy dowieść, że B A {\displaystyle BA} jest normalna w B C . {\displaystyle BC.} Zauważając, że B ⩽ B A ⩽ N G ( B A ) {\displaystyle B\leqslant BA\leqslant N_{G}(BA)} (zob. normalizator), otrzymuje się ( B A ) b = B A {\displaystyle (BA)^{b}=BA} dla wszystkich b ∈ B {\displaystyle b\in B} (zob. sprzężenie i podgrupa normalna). Wtedy, dla dowolnych b ∈ B , c ∈ C , {\displaystyle b\in B,\,c\in C,} jest ( B A ) b c = [ ( B A ) b ] c = ( B A ) c = B c A c = B A c = B A , {\displaystyle (BA)^{bc}=[(BA)^{b}]^{c}=(BA)^{c}=B^{c}A^{c}=BA^{c}=BA,} ponieważ B ◃ G {\displaystyle B\triangleleft G} oraz A ⊴ C . {\displaystyle A\trianglelefteq C.} Zatem ( B A ) x = B A {\displaystyle (BA)^{x}=BA} dla wszystkich x ∈ B C {\displaystyle x\in BC} oraz B A ⊴ B C . {\displaystyle BA\trianglelefteq BC.} Z drugiego twierdzenia o izomorfizmie z B C , B A , C {\displaystyle BC,BA,C} odpowiednio w miejscach G , H , K {\displaystyle G,H,K} otrzymuje się A B ∩ C ⊴ C {\displaystyle AB\cap C\trianglelefteq C} oraz C / A B ∩ C ≃ C ( A B ) / A B . {\displaystyle C/AB\cap C\simeq C(AB)/AB.} Ponieważ A B ∩ C = A ( B ∩ C ) {\displaystyle AB\cap C=A(B\cap C)} oraz C ( A B ) = ( C A ) B = C B = B C , {\displaystyle C(AB)=(CA)B=CB=BC,} to izomorfizm ten oznacza, że C / A ( B ∩ C ) ≃ B C / B A . {\displaystyle C/A(B\cap C)\simeq BC/BA.}

Przypisy

  1. ↑ Zob. Pierce, s. 27, ćw. 1.
  2. ↑ The Butterfly and the Serpent. W: J. Lambek: Logic and Algebra. Aldo Ursini, Paulo Agliano (red.). CRC Press, 1996, s. 161–180. ISBN 978-0-8247-9606-8.

Bibliografia

  • R.S. Pierce: Associative algebras. Springer, 1982, s. 27. ISBN 0-387-90693-2.
  • Serge Lang: Algebra. Wyd. III (popr.). Springer-Verlag, s. 20–21, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 978-0-387-95385-4.
  • Hans Zassenhaus. Zum Satz von Jordan–Hölder–Schreier. „Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg”. 10, s. 106–108, 1934.