Kalkulus |
---|
- Teorema nilai purata
- Teorema Rolle
|
Diferensial Definisi |
---|
- Tabel turunan
- Diferensial
- infinitesimal
- fungsi
- total
| Konsep |
---|
- Notasi untuk pendiferensialan
- Turunan kedua
- Turunan ketiga
- Perubahan variabel
- Pendiferensialan implisit
- Laju yang berkaitan
- Teorema Taylor
| Kaidah dan identitas |
---|
- Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan
- Perkalian
- Rantai
- Pangkat
- Pembagian
- Rumus Faà di Bruno
|
|
Definisi |
---|
| Integrasi secara |
---|
|
|
Deret | Uji kekonvergenan |
---|
- uji suku
- rasio
- akar
- integral
- perbandingan langsung
perbandingan limit - deret selang-seling
- kondensasi Cauchy
- Dirichlet
- Abel
|
|
|
|
Khusus - fraksional
- Malliavin
- stokastik
- variasi
|
|
Uji kekonvergenan (bahasa Inggris: convergence tests) dalam matematika adalah kumpulan metode untuk melakukan uji yang berkenaan dengan deret konvergen, kekonvergenan bersyarat, kekonvergenan mutlak, kekonvergenan selang atau divergensi suatu deret tak terhingga.
Daftar uji kekonvergenan
- Limit dari jinumlah: Jika limit dari jinumlah (atau limit dari yang dijumlahkan) tidak dapat didefinisikan atau bukan nol, yaitu
, maka deret tersebut pasti divergen. Dalam hal ini, jumlah parsial merupakan barisan Cauchy hanya jika limit ini ada dan sama dengan nol. Uji ini tidak mempunyai kesimpulan jika limit jumlah semua elemen sama dengan nol. - Uji rasio: Uji ini juga dikenal sebagai kriteria d'Alembert (d'Alembert's criterion). Uji ini mengatakan: Misalkan terdapat
sedemikian rupa sehingga![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ad76fc956e34f6874910716e5da1e58587e2e6)
Jika
, maka deret tersebut konvergen. Jika
, maka deret tersebut divergen. Jika
, maka uji rasio tidak meyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen. - Uji akar: Uji ini juga dikenal sebagai "Uji akar ke-n" (n-th root test)atau kriteria Cauchy (Cauchy's criterion). Misalkan
![{\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ec31fb14ea99381af3e9507f8d415088f39a51)
dengan
melambangkan limit atas (kemungkinannya ∞; jika ada limit, maka itulah nilainya). Jika
, maka deret tersebut konvergen. Jika
, maka deret tersebut divergen. Jika
, maka uji akarnya tidak meyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen. - Uji integral: Suatu deret dapat dibandingkan dengan suatu integral untuk menguji apakah deret tersebut konvergen atau divergen. Misalkan
adalah suatu fungsi positif dan menurun secara monoton sedemikian rupa sehingga
. Jika![{\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80e34bb1af714fbd0298ed8e956e226d2956f09)
maka deret tersebut konvergen. Akan tetapi, jika integralnya divergen, maka deret tersebut juga divergen. Dengan kata lain, deret
konvergen jika dan hanya jika integralnya konvergen. - Korolari dari uji integral yang umum dipakai adalah uji deret-p: Misalkan
, maka
konvergen jika
. Kasus
untuk uji ini akan menghasilkan deret harmonik yang hasilnya divergen. Kasus
adalah masalah Basel dan deret tersebut konvergen menuju
. Secara umum, untuk
, maka deret tersebut sama dengan fungsi zeta Riemann dari
, yaitu
.
- Uji perbandingan langsung: Jika deret
merupakan suatu deret konvergen mutlak dan
untuk
yang cukup besar, maka deret
konvergen mutlak. - Uji perbandingan limit: Jika
, dan limit
ada, merupakan terhingga dan bukan nol, maka
konvergen jika dan hanya jika
konvergen. - Uji kondensasi Cauchy: Misalkan
adalah barisan positif yang tidak menaik, maka jumlah
adalah konvergen jika dan hanya jika jumlah
konvergen. Terlebih lagi, jika jumlah tersebut konvergen, maka berlaku pertidaksamaan
. - Uji Abel: Misalnya pernyataan-pernyataan berikut ini benar:
adalah suatu deret konvergen;
adalah suatu urutan monoton; dan
mempunyai batasan (bounded). Maka
juga konvergen. - Uji Dirichlet: Jika
adalah barisan bilangan real dan
adalah barisan bilangan kompleks yang memenuhi syarat bahwa:
,
, dan
untuk setiap bilangan bulat positif
dengan menyatakan suatu konstan, maka deret
konvergen. - Uji kekonvergenan Cauchy: Suatu deret
adalah konvergen jika dan hanya jika untuk setiap
, terdapat suatu bilangan asli
sehingga![{\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e6383f525912e44418903d3842f7929a22851bf)
berlaku untuk semua
dan untuk semua
. - Teorema Stolz–Cesàro: Misalkan
dan
adalah dua barisan bilangan real. Asumsi bahwa
adalah barisan yang monoton sempurna dan divergen, serta mempunyai nilai limit berikut:![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e5161eb1de2ee29c46f37dcec4b736ba3d35fe)
Maka, limit![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0db443977afee3ef0c73b7d0406c5d9bbff95e)
- Uji-M Weierstrass: Misalkan
adalah suatu barisan dari fungsi bilangan real atau kompleks yang terdefinisi pada suatu himpunan
, dan misalkan terdapat barisan bilangan non-negatif
yang memenuhi syarat-syarat:
untuk semua
dan semua
, serta
konvergen. Maka deret
konvergen mutlak dan seragam di
. - Uji Raabe–Duhamel: Misalkan
adalah barisan bilangan positif. Misalkan terdapat barisan yang didefinisikan dengan ![{\displaystyle b_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f597e94debdbfaf270dc44fbfb780f4dba4430)
Jika
ada, maka akan ada tiga kemungkinan: Jika
, maka deret itu konvergen; jika
, maka deret itu divergen; dan jika
, maka uji tersebut tidak dapat disimpulkan. Perumusan uji lainnya adalah sebagai berikut: Misalkan
adalah suatu deret bilangan real. Jika terdapat
dan
(adalah suatu bilangan asli) sehingga![{\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq 1-{\frac {b}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4739bc282e09bfb324ed8f38f7bfc289bb93428)
untuk semua
, maka deret
konvergen.
Catatan
- Untuk sejumlah jenis deret tertentu ada tes konvergensi yang lebih khusus, misalnya untuk deret Fourier digunakan uji Dini
Contoh
Misalkan, diberikan suatu deret
-
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c63eab9681f5e6f3e3cc3086a68b98aedaf311) | | (i) |
Uji kondensasi Cauchy menyiratkan bahwa deret di (i) adalah konvergen terhingga jika
-
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263111629967b1bbb1da780998ac1821edf7a571) | | (ii) |
konvergen terhingga. Karena
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\left({\frac {1}{2^{n}}}\right)^{\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{n-n\alpha }=\sum _{n=1}^{\infty }2^{(1-\alpha )n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c815bb2c899fe8434988106c1251d9b7a743af1)
maka deret di (
ii) adalah deret geometri dengan rasio
![{\displaystyle 2^{(1-\alpha )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bed732917cf0d2d50f1f0a7e14f05405511fe82)
. Deret di (
ii) adalah konvergen terhingga jika rasionya lebih kecil dari 1, ditulis
. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa deret di (
i) adalah konvergen terhingga jika dan hanya jika
. Kekonvergenan hasil kali
Walaupun kebanyakan uji-uji tersebut berkenaan dengan kekonvergenan dari deret tak terhingga, uji-uji tersebut juga dapat dipakai untuk memperlihatkan kekonvergenan atau kedivergenan dari hasil kali tak terhingga. Hal ini dapat diperoleh dengan menggunakan teorema berikut:
- Misalkan
adalah barisan bilangan positif, maka hasil kali tak terhingga
konvergen jika dan hanya jika deret
konvergen. Dengan cara yang serupa, jika berlaku pertidaksamaan
, maka
mendekati suatu limit tak nol jika dan hanya jika deret
konvergen.
Teorema tersebut dapat dibuktikan dengan mengambil logaritma dari hasil kali dan menggunakan uji perbandingan limit.[1]
Lihat pula
- Kaidah L'Hôpital
- Kaidah geser
Referensi
- ^ Belk, Jim (26 January 2008). "Convergence of Infinite Products".
Pranala luar
- Flowchart for choosing convergence test Diarsipkan 2010-08-08 di Wayback Machine.
Pengawasan otoritas ![Sunting ini di Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png) | |
---|