Integral takwajar

Kalkulus
Teorema dasar Limit fungsi Kontinuitas Teorema nilai purata Teorema Rolle
Diferensial Definisi Turunan (perumuman) Tabel turunan Diferensial infinitesimal fungsi total Konsep Notasi untuk pendiferensialan Turunan kedua Turunan ketiga Perubahan variabel Pendiferensialan implisit Laju yang berkaitan Teorema Taylor Kaidah dan identitas Kaidah penjumlahan dalam pendiferensialan Perkalian Rantai Pangkat Pembagian Rumus Faà di Bruno
Integral Definisi Antiderivatif Integral (takwajar) Integral Riemann Integrasi Lebesgue Integrasi kontur Tabel integral Integrasi secara parsial cakram kulit tabung substitusi (trigonometri) pecahan parsial Urutan Rumus reduksi
Deret geometri (aritmetika-geometrik) harmonik selang-seling pangkat binomial Taylor Uji kekonvergenan uji suku rasio akar integral perbandingan langsung perbandingan limit deret selang-seling kondensasi Cauchy Dirichlet Abel
Vektor Gradien Divergence Keikalan Laplace berarah identitas Teorema Kedivergenan Gradien Green Stokes
Multivariabel Formalisme matriks tensor eksterior geometrik Definisi Turunan parsial Integral lipat Integral garis Permukaan integral integral volume Jacobi Hesse
Khusus fraksional Malliavin stokastik variasi
l b s

Dalam kalkulus, integral takwajar adalah limit dari integral tentu dengan batas pengintegralan mendekati bilangan riil tertentu, ${\displaystyle \infty }$, ${\displaystyle -\infty }$, atau gabungan dari beberapa diantaranya. Integral takwajar dinotasikan seperti integral tentu, namun dengan batas pengintegralan tak hingga.

Dengan kata lain, integral tak wajar adalah limit dengan bentuk

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx,\qquad \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx,}$

atau

${\displaystyle \lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,dx,\quad \lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)\,dx,}$

dengan limit diambil pada salah satu atau kedua batasnya. (Apostol 1967, §10.23). Integral takwajar sering kali perlu digunakan untuk menghitung nilai integral yang tidak ada dalam arti konvensional (misalnya sebagai integral Riemann), karena adanya singularitas pada fungsi yang hendak diintegralkan, atau salah satu batas adalah takhingga.

Konvergensi integral

Integral yang tidak tepat menyatu jika batasan yang menentukannya adanya. Dengan demikian contohnya seorang mengatakan bahwa integral tak wajar pada nilai

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)\,dx}$

ada dan sama dengan L jika integral di bawah batas untuk semua cukup besar t, dan nilai limitnya sama dengan L.

Hal ini juga mungkin untuk integral yang tidak tepat untuk menyimpang hingga tak terbatas. Dalam hal ini, seseorang dapat menetapkan nilai dari ∞ (atau -∞) ke integral. Contohnya

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {1}{x}}\,dx=\infty .}$

Namun sedemikian, integral tidak tepat lainnya mungkin hanya menyimpang ke arah tertentu, seperti nilai

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}x\sin(x)\,dx,}$

yang tidak ada, bahkan sebagai bilangan riil diperpanjang. Ini disebut divergensi dengan osilasi.

Batasan dari teknik integr yang tidak tepat adalah bahwa batasan tersebut harus diambil sehubungan dengan satu titik akhir pada satu waktu. Jadi, integral tak wajar dari bentuk

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx}$

dapat didefinisikan dengan mengambil dua batasan terpisah; yaitu

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Hal ini.

${\displaystyle \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\lim _{b\to \infty }\int _{c}^{b}f(x)\,dx}$

Jenis integral

- Dalam pengembangan -

Integral Riemann dan integral

- Dalam pengembangan -

Lebesgue yang tidak tepat

- Dalam pengembangan -

Singularitas

- Dalam pengembangan -

Nilai pokok Cauchy

- Dalam pengembangan -

Summability

- Dalam pengembangan -

Integral tidak tepat multivariabel

- Dalam pengembangan -

Contoh

integral Riemann tidak dapat didefinisikan untuk fungsi ${\displaystyle 1/{x^{2}}}$ pada interval [1, ∞). Hal ini karena domain integral tersebut memiliki domain integrasi tak terbatas. Meskipun demikian, integral Riemann dapat memiliki nilai sebagai integral takwajar dengan menafsirkannya sebagai limit

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{1}^{b}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\lim _{b\to \infty }\left[-{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{1}}\right]=1.}$

Integral Riemann juga tidak dapat didefinisikan untuk fungsi ${\displaystyle 1/{\sqrt {x}}}$ pada interval [0, 1] karena integran tak terbatas pada domain integrasi. Meskipun demikian, integral tersebut dapat ditafsirkan sebagai limit

${\displaystyle \lim _{a\to 0^{+}}\int _{a}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,dx=\lim _{a\to 0^{+}}\left[2{\sqrt {1}}-2{\sqrt {a}}\right]=2.}$

Referensi

• Apostol, T (1967), Calculus, Vol. 1 (edisi ke-2nd), Jon Wiley & Sons .