Chaîne de Cunningham

Pour les articles homonymes, voir Cunningham.

En mathématiques, une chaîne de Cunningham est une certaine suite de nombres premiers. Les chaînes de Cunningham furent nommées en l'honneur du mathématicien Allan Cunningham (1842-1928).

Une chaîne de Cunningham de première espèce est une suite de nombres premiers (p₁…, p_n) telle que pour tout 1 ≤ i < n, p_i+1 = 2 p_i + 1. (Chacun des termes d'une telle chaîne excepté le dernier d'entre eux est un nombre premier de Sophie Germain). De manière similaire, une chaîne de Cunningham de deuxième espèce est une suite de nombres premiers (p₁…, p_n) tels que pour tout 1 ≤ i < n, p_i+1 = 2 p_i – 1.

Les chaînes de Cunningham sont aussi généralisées en suites de nombres premiers (p₁…, p_n) telles que pour tout 1 ≤ i < n, p_i+1 = ap_i + b pour des entiers premiers entre eux fixés a, b ; les chaînes résultantes sont appelées chaînes de Cunningham généralisées.

Une chaîne de Cunningham est dite complète si elle ne peut pas être étendue davantage, c'est-à-dire s'il n'existe aucun nombre premier qui pourrait suivre le dernier terme de la chaîne, ou précéder le premier.

Exemples

Exemples de chaînes complètes de Cunningham du premier type :

2, 5, 11, 23, 47 (le nombre suivant serait 95.)

3, 7

29, 59 (le nombre suivant serait 119 = 7*17.)

41, 83, 167

89, 179, 359, 719, 1439, 2879 (le nombre suivant serait 5759 = 13*443.)

Le record actuel est une chaîne de 14 nombres.

Exemples de chaînes complètes de Cunningham du deuxième type :

2, 3, 5 (le nombre suivant serait 9)

7, 13

19, 37, 73

31, 61

Le record actuel est une chaîne de 16 nombres

Liens externes

(en) The Prime Glossary : Cunningham chain sur les Prime Pages
(en) Prime Links + + : Cunningham chains sur les Prime Pages
(en) Suite A005602 de l'OEIS : le plus petit nombre qui est le premier terme d'une chaîne complète de Cunnigham de première espèce de longueur n, pour 1 ≤ n ≤ 14
(en) Suite A005603 de l'OEIS : le plus petit nombre qui est le premier terme d'une chaîne complète de Cunnigham de deuxième espèce de longueur n, pour 1 ≤ n ≤ 15

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cunningham chain » (voir la liste des auteurs).

v · m

Nombres premiers

Donnés par une formule

combinatoire	factoriel (n!±1) primoriel (p_n#±1) Euclide (p_n#+1)
polynomiale	Pythagore (4n + 1) cubain (x³ − y³)/(x − y) quatrain (x⁴ + y⁴)
exponentielle	Fermat (2^2ⁿ + 1) Mersenne (2^p – 1) Double de Mersenne (2^{2^p–1} –1) Pierpont (2^u3^v + 1) Carol ((2ⁿ – 1)² – 2) Kynea ((2ⁿ + 1)² – 2) Thebit (3·2ⁿ – 1) Wagstaff ((2^p + 1)/3) Proth (k2ⁿ + 1) Cullen (n2ⁿ + 1) Woodall (n2ⁿ – 1) Mills (⌊A^3ⁿ⌋)

Appartenant à une suite

Ayant une propriété remarquable

Ayant une propriété dépendant de la base

diédral
palindrome
Reimerp
répunit (10ⁿ − 1)/9
permutable
circulaire
délicat
tronquable
minimal
long
unique
Smarandache-Wellin
partie entière de puissances de constante
troncature de constante

Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres

singleton	Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {p_n ; p_n = (<, >) (p_n–1 + p_n+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier}
n-uplet	jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12)
suite	progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)