Nombre premier long

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En arithmétique, un nombre premier long est un nombre premier p tel que dans une base donnée b non divisible par p, l'entier ${\frac {b^{p-1}-1}{p}}$ soit cyclique.

Une manière équivalente de définir que p est un nombre premier long dans la base b est de dire que le groupe (ℤ/pℤ)^× admet b comme générateur^[1].

Sauf mention explicite, la base b considérée est la base dix.

Exemples

Le nombre premier p = 7 donne le nombre cyclique 142 857, ainsi 7 est un nombre premier long.
Le nombre premier p = 13 n'est pas long car il donne 076923076923, qui n'est pas cyclique. Dans ces cas, il y a toujours une (ou plusieurs) répétition de séquences identiques.
Les dix premiers nombres premiers longs sont^[2] 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97 et 109.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Full reptend prime » (voir la liste des auteurs).

↑ Pascal Boyer, Petit compagnon des nombres et de leurs applications, Paris, Calvage et Mounet, 2019, 648 p. (ISBN 978-2-916352-75-6), I. Arithmétique de ℤ, chap. 2.4 (« Développement décimal de 1/p, d'après J. Germoni »), p. 28-34.
↑ Pour les 10 000 premiers, voir la suite A001913 de l'OEIS.