Diverjans

Vektör hesaplamada, divergence (ıraksama, uzaksama, uzaklaşma) bir vektör alanının kaynak ya da batma noktasından uzaktaki bir noktada genliğini ölçen işleçtir; yani bir vektör alanının uzaksaması işaretli (artı ya da eksi) bir sayıdır. Örneğin ısındıkça genişleyen havanın hızını gösteren bir vektör alanının uzaksaması pozitif olacaktır, çünkü hava genişlemektedir. Eğer hava soğuyup daralıyorsa uzaksama negatif olacaktır. Bu özel örnekte uzaksama yoğunluğun değişiminin ölçüsü olarak düşünülebilir.

Uzaksaması her yerde 0 olan vektör alanına selenoidal denir.

F → ( x , y , z ) {\displaystyle {\vec {F}}(x,y,z)} ile gösterilen bir vektör alanın diverjansı fiziksel anlamda en basit olarak alanın akısıyla betimlenebilir. Diverjans, hacim sıfıra giderken, F → ( x , y , z ) {\displaystyle {\vec {F}}(x,y,z)} 'in birim hacime düşen akısı olarak tanımlanabilir. Sembolik olarak

div F → ≡ lim Δ v → 0 ∮ S F → ⋅ d s → Δ v {\displaystyle {\mbox{div}}{\vec {F}}\equiv \lim _{\Delta v\rightarrow 0}{\frac {\oint _{S}{{\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}}}{\Delta v}}}

burada S {\displaystyle \scriptstyle S} hacmi saran kapalı yüzeyi belirtmektedir. Diverjans teoremi yardımıyla, diverjansın nabla operatörü ( ∇ → {\displaystyle {\vec {\nabla }}} ) ile F → {\displaystyle {\vec {F}}} 'nin skaler çarpımına eşit olduğu belirlenebilir. Kartezyen koordinatlarda

div F → = ∇ → ⋅ F → = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z {\displaystyle {\mbox{div}}{\vec {F}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}

Genel olarak u 1 , u 2 , u 3 {\displaystyle \scriptstyle u_{1},u_{2},u_{3}\,} gibi genel dik koordinatlarda F → ≡ ( F 1 , F 2 , F 3 ) {\displaystyle \scriptstyle {\vec {F}}\equiv (F_{1},F_{2},F_{3})} için diverjansın tanımı şöyledir,

∇ ⋅ F → = 1 h 1 h 2 h 3 [ ∂ ∂ u 1 h 2 h 3 F 1 + ∂ ∂ u 2 h 1 h 3 F 2 + ∂ ∂ u 3 h 1 h 2 F 3 ] {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {F}}={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}h_{2}h_{3}F_{1}+{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}h_{1}h_{3}F_{2}+{\frac {\partial }{\partial u_{3}}}h_{1}h_{2}F_{3}\right]}

burada h 1 , h 2 , h 3 {\displaystyle \scriptstyle h_{1},h_{2},h_{3}\,} ilgili koordinatların metrik katsayılarının karekökünü belirtmektedir.

Diverjansın tensör notasyonunda yazılımı,

div F → = ∂ i F i {\displaystyle {\mbox{div}}{\vec {F}}=\partial _{i}F_{i}} veya div F → = F i , i {\displaystyle {\mbox{div}}{\vec {F}}=F_{i,i}} olur.

ϕ {\displaystyle \scriptstyle \phi \,} skaler bir alan, F → {\displaystyle {\vec {F}}} ve G → {\displaystyle {\vec {G}}} de vektörel bir alan olmak üzere, diverjans alma işleminin özellikleri şöyle sıralanabilir:

∇ → ⋅ ( F → + G → ) = ∇ → ⋅ F → + ∇ → ⋅ G → {\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {F}}+{\vec {G}})={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {G}}}
∇ → ⋅ ( ϕ F → ) = ( ∇ → ϕ ) ⋅ F → + ϕ ( ∇ → ⋅ F → ) {\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot (\phi {\vec {F}})=({\vec {\nabla }}\phi )\cdot {\vec {F}}+\phi ({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}})}
∇ → ⋅ ( F → × G → ) = G → ⋅ ( ∇ → × F → ) − F → ⋅ ( ∇ → × G → ) {\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {F}}\times {\vec {G}})={\vec {G}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}})-{\vec {F}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {G}})}
∇ → ⋅ ( ∇ → × F ) = 0 {\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}\times F)=0}