Transformare Legendre

Acest articol sau această secțiune are bibliografia incompletă sau inexistentă.
Puteți contribui prin adăugarea de referințe în vederea susținerii bibliografice a afirmațiilor pe care le conține.
Diagramă ce prezintă transformarea lui Legendre pentru funcţia f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} . Funcţia e marcată cu roşu, iar tangenta în punctul ( x 0 ,   f ( x 0 ) ) {\displaystyle (x_{0},\ f(x_{0}))\,} e trasată cu albastru. Tangenta intersectează axa verticală în ( 0 ,   − f ∗ ) {\displaystyle (0,\ -f^{*})} iar f ∗ {\displaystyle f^{*}\,} este valoarea transformatei Legendre f ∗ ( p 0 ) {\displaystyle f^{*}(p_{0})\,} , unde p 0 = f ˙ ( x 0 ) {\displaystyle p_{0}={\dot {f}}(x_{0})} .

Transformarea lui Legendre este o metodă de transformare a variabilelor. Permite trecerea de la o funcție de stare a unui sistem la o altă funcție, adaptată configurației sistemului. Are aplicații în special în termodinamică.

Preliminarii

În calcule, în locul unei funcții f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} este mai util de utilizat o transformată a acesteia, al cărei argument să fie chiar derivata funcției inițiale p = df/dx.

Prin transformarea indicată de Legendre se obține funcția:

f ⋆ ( p ) = m a x x ( p x − f ( x ) ) . {\displaystyle f^{\star }(p)=\mathrm {max} _{x}(px-f(x)).}

Definiții

Pentru a obține maximul lui p x − f ( x ) {\displaystyle px-f(x)\,} se pune condiția ca derivata acesteia să fie zero:

d d x ( p x − f ( x ) ) = p − d f ( x ) d x = 0. ( 1 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(px-f(x)\right)=p-{\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}=0.\quad \quad (1)\,}

Așadar maximul este atins când:

p = d f ( x ) d x ( 2 ) {\displaystyle p={\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2)} .

Acesta este un maxim deoarece a doua derivată este negativă:

d 2 d x 2 ( x p − f ( x ) ) = − d 2 f ( x ) d x 2 < 0 , {\displaystyle {\mathrm {d} ^{2} \over \mathrm {d} x^{2}}(xp-f(x))=-{\mathrm {d} ^{2}f(x) \over \mathrm {d} x^{2}}<0,}

deoarece s-a presupus că f {\displaystyle f} este convexă.

Mai departe, din (2) se obține x {\displaystyle x} ca o funcție de p {\displaystyle p} și se introduce în (1). Se obține o formă mai utilă:

f ⋆ ( p ) = p x ( p ) − f ( x ( p ) ) . {\displaystyle f^{\star }(p)=p\,\,x(p)-f(x(p)).}

<

modificare 

Portal Matematică

Matematica este în general definită ca știința ce studiază modelele de structură, schimbare și spațiu. În conversații amicale, poate fi descrisă ca „analiza cifrelor și a numerelor”, în timp ce cu alte ocazii poate fi utilizată o descriere pedantă de genul „cercetarea axiomatică a structurilor abstracte folosind raționamente logice și notații matematice”. Un compromis se obține prin „studiul obiectelor sau noțiunilor a căror existență este independentă de această investigație științifică”.

Datorită utilizării sale în majoritatea celorlalte discipline științifice, matematica a fost numită „limbajul științei” sau „limbajul universului”.

Mai multe despre... matematică, Vezi și Proiect:Matematică

modificare 

Articolul zilei

Geometria (din grecescul γεωμετρία; geo = pământ, metria = măsură) s-a născut ca fiind ramura de studiu a matematicii care se ocupă cu relațiile spațiale. Este una dintre cele două ramuri ale matematicii moderne, cealaltă fiind studiul numerelor. În ziua de azi, conceptele geometriei au fost generalizate către un nivel mai înalt de abstractizare și complexitate, și a fost făcută obiect de studiu pentru metode de calcul și algebră abstractă, așa că multe ramuri moderne ale geometriei mai pot fi recunoscute ca fiind descendente ale geometriei de la începuturile ei. (Vezi geometrie algebrică.)

Cele mai vechi urme ale geometriei se găsesc în Egiptul Antic și Babylon, în jurul anului 3000 î.e.n. Începuturile geometriei au fost marcate de o colecție de principii empirice în legătură cu lungimea, unghiul, aria, și volumul, care au fost dezvoltate pentru a putea fi puse în practică în construcții, astronomie, și alte științe. Printre acestea se numără și câteva principii sofisticate, iar un matematician din zilele noastre ar putea cu greu să le redescopere fără a folosi calculul integral și diferențial. De exemplu, și egiptenii și babilonienii cunoșteau versiunile teoremei lui Pitagora cu 1500 de ani înainte de Pitagora; Egiptenii aveau formula corectă pentru volumul piramidei cu baza pătrat; Babilonienii aveau un tabel de trigonometrie.

Mai mult despre Geometrie...
modificare 

Articole selectate

Imaginea iniţială a mulţimii lui Mandelbrot.

Mulțimea lui Mandelbrot este un fractal care a devenit cunoscut și în afara matematicii atât pentru estetica sa, cât și pentru structura complicată, dar care are la bază o definiție simplă. Acest lucru se datorează în mare parte eforturilor lui Benoît Mandelbrot și ale altora, care au lucrat pentru a face cunoscut acest domeniu al matematicii publicului general.

modificare 

Imaginea zilei

În această diagramă, BD:DC = BA:CA.
Mai mult despre Teorema bisectoarei...
modificare 

Categorii

Matematică
Ramuri ale matematicii
Matematicieni
Notații matematice
Liste matematice
Liste referitoare la matematică
Asociații ale matematicienilor
Biomatematică
Calcul matricial
Concepte matematice
Constante matematice
Matematică și cultură
Demonstrații matematice
Filozofia matematicii
Fizică matematică
Funcții matematice
Infinit
Instrumente matematice
Istoria matematicii
Leme
Lucrări matematice
Matematica informaticii
Matematică elementară
Matematică financiară
Matematică recreativă
Medii
Numerație
Numere
Proprietăți matematice
Paradoxuri matematice
Probleme de matematică
Propoziții matematice
Punctuație
Rezolvarea matematică a problemelor
Stocastică
Teoreme matematice
Teoria grafurilor
Teoria mulțimilor
Terminologie matematică
Topologie
Vectori (fizică și matematică)
Cioturi legate de matematică
Formate matematică

Algebră - Analiză matematică - Aritmetică - Biomatematică - Cioturi Matematică - Ecuații diferențiale - Filozofia matematicii - Geometrie - Geometrie algebrică - Infinit - Leme - Liste matematice - Logică Boole - Matematicieni - Matematică elementară - Matematică financiară - Medii - Numerație - Numere - Optimizare - Paradoxuri matematice - propoziții matematice - Punctuație - Secvențe - Serii matematice - Statistică - Teoreme - Teoreme matematice - Teoria grafurilor - Teoria jocurilor - Categorie:Teoria mulțimilor - Terminologie matematică - Topologie - Trigonometrie - Șiruri matematice

modificare 

Știați că...


Deși N este inclusă strict in Z , cele două mulțimi sunt cardinal echivalente, adică au același cardinal. Funcția bijectivă care ne arată acest lucru este următoarea: f definită pe Z cu valori în N , unde numerele întregi nenegative merg prin f în numerele naturale pare, iar numerele întregi negative în numerele naturale impare.

modificare 

Asociația Wikimedia


Următoarele proiecte ale Fundației Wikimedia oferă mai multe despre acest subiect:

Wikimanuale
Manuale

Commons
Media

Wikiștiri 
Știri

Wikicitat 
Citate

Wikisource 
Texte

Wikiversity
Resurse de învățare

Wikivoyage 
Ghiduri de călătorie

Wikționar 
Dicționar

Wikidata 
Bază de date

Wikispecies 
Director de specii

Format:/box-footer

modificare 

Alte Portale

Ce sunt Portalurile? | Răsfoire după temă

Curăță memoria cache

v • d • m
Fizică statistică
Termodinamică
Calorimetrie • Capacitate termică • Căldură latentă • Ciclu termodinamic • Ciclul Carnot • Ciclul Clausius-Rankine • Coeficient de transformare adiabatică • Constanta universală a gazului ideal • Echilibru termodinamic • Energie internă • Energie liberă • Entalpie • Entalpie liberă • Entropia radiației electromagnetice • Entropia termodinamică (după Carathéodory) • Entropie • Entropie termodinamică • Evaporare • Fază (termodinamică) • Fierbere • Formula lui Planck • Fracție molară • Gaz ideal • Gaz perfect • Gaz real • Legea Boyle-Mariotte • Legea Dulong-Petit • Legea lui Avogadro • Legea lui Dalton • Legea lui Henry • Legea lui Raoult • Legile de deplasare ale lui Wien • Legile lui Kirchhoff (radiație) • Lema lui Carathéodory (termodinamică) • Mărimi molare de exces • Paradoxul lui Gibbs (termodinamică) • Perpetuum mobile • Potențial chimic • Potențial termodinamic • Presiune de vapori • Principiile termodinamicii • Principiul al doilea al termodinamicii • Principiul al doilea al termodinamicii: Planck versus Carathéodory • Principiul al treilea al termodinamicii • Principiul întâi al termodinamicii • Principiul zero al termodinamicii • Proces adiabatic • Punct de fierbere • Punct de topire • Radiație termică • Relația lui Mayer • Rezonatorul lui Planck • Sistem termodinamic • Temperatură • Termochimie • Termodinamică • Transformare Legendre • Transformare termodinamică • Termodinamică chimică •
Mecanică statistică
Teorie cinetică