Bază ortonormată

În algebra liniară, o bază ortonormată a unui spațiu euclidian V de dimensiune n peste ${\displaystyle \mathbb {R} }$ este o bază algebrică ${\displaystyle B=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}}$ cu toți vectorii având norma unitară și oricare doi vectori distincți ortogonali:

${\displaystyle <e_{i},e_{j}>={\begin{cases}0,\;\;i\neq j\\1,\;\;i=j\end{cases}}}$

Există următoarea:

Teoremă: În orice spațiu euclidian există o bază ortonormată.

Avantajele utilizării bazelor ortonormate

• Calculul componentelor unui vector ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$ într-o bază ortonormată se face simplu, cu ajutorul produsului scalar și nu prin rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.
• Într-un spațiu euclidian n-dimensional dotat cu o bază ortonormată, formulele de calcul pentru produsul scalar dintre doi vectori și norma unui vector au aceeași formă cu cele din ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$
• Matricea de trecere între două baze ortonormate este o matrice ortogonală, adică o matrice a cărei inversă este egală cu transpusa sa.

Propoziție. Fie V un spațiu euclidian de dimensiune n peste ${\displaystyle \mathbb {R} }$ și ${\displaystyle B=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}}$ o bază ortonormată a sa. Atunci dacă vectorul ${\displaystyle x\in V}$ are în baza ortonormată B scrierea

${\displaystyle \mathbf {x} =\alpha _{1}\mathbf {e} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +\alpha _{n}\mathbf {e} _{n},}$

atunci componentele sale în această bază sunt date de formulele:

${\displaystyle \alpha _{j}=<\mathbf {x} ,\mathbf {e} _{j}>,\;\;\forall \;j=1,2,\cdots ,n.}$

Prin urmare, orice vector ${\displaystyle x\in V}$ are în baza ortonormată ${\displaystyle B=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}}$ scrierea:

${\displaystyle \mathbf {x} =<\mathbf {x} ,\mathbf {e} _{1}>\mathbf {e} _{1}+<\mathbf {x} ,\mathbf {e} _{2}>\mathbf {e} _{2}+\cdots +<\mathbf {x} ,\mathbf {e} _{n}>\mathbf {e} _{n}.}$

Matricea de trecere dintre două baze ortonormate

Fie C o matrice cu n linii și n coloane cu elemente reale.

Definiție. O matrice ${\displaystyle C\in \mathbb {M} _{n,n}(\mathbb {R} )}$ se numește matrice ortogonală dacă:

${\displaystyle C\cdot C^{T}=C^{T}\cdot C=I_{n}.}$

Din definiție rezultă că o matrice ortogonală C este inversabilă și ${\displaystyle C^{-1}=C^{T}.}$

Propoziție. Fie V un spațiu euclidian de dimensiune n peste ${\displaystyle \mathbb {R} ,\;\;B=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}}$ o bază ortonormată a sa și ${\displaystyle B'=\{f_{1},f_{2},\cdots ,f_{n}\}}$ o altă bază a lui V, iar C matricea de trecere de la baza ${\displaystyle B}$ la baza ${\displaystyle B'.}$ Următoarele afirmații sunt echivalente:

1. Baza ${\displaystyle B'}$ este ortonormată.
2. Matricea C este o matrice ortogonală.

Vezi și

• Subspațiu ortogonal

Portal Matematică