Teorema de Bolzano-Weierstrass

O teorema de Bolzano-Weierstrass estabelece que um conjunto do ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$ é sequencialmente compacto se e somente se é fechado e limitado.

Por sequencialmente compacto, entende-se que toda sequência extraída do conjunto, possui uma subsequência convergente. Ou seja, se ${\displaystyle K\,}$ é um conjunto seqüencialmente compacto e ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,}$ é uma seqüência de pontos pertencentes a ${\displaystyle K\,}$, então existe uma subseqüência ${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }\subset (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,}$ tal que:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}=x^{*}\in K\,}$

Um conjunto ${\displaystyle F\,}$ é dito fechado se toda sequência convergente contida em ${\displaystyle F\,}$ converge em ${\displaystyle F\,}$, ou seja:

${\displaystyle x_{n}\in F}$ e ${\displaystyle x_{n}\to x\,}$, então: ${\displaystyle x\in F\,}$

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma esfera de raio finito.

Lema de Bolzano-Weierstrass na reta

Estebeleceremos o seguinte lema que nos permitirá dar seqüência à demonstração do teorema.

Seja ${\displaystyle x_{n}\,}$, uma sequencia limitada em ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$, então existe uma subsequência ${\displaystyle x_{n_{k}}\,}$ convergente.

Demonstração: Primeiramente, defina ${\displaystyle x_{n_{1}}=x_{1}\,}$

Como ${\displaystyle x_{n}\,}$ é limitada, existe um intervalo ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]\,}$ tal que:

${\displaystyle x_{n}\in [a_{1},b_{1}],~~\forall n\,}$

Seja ${\displaystyle M_{1}={\frac {b_{1}+a_{1}}{2}}\,}$ o ponto médio entre ${\displaystyle a_{1}\,}$ e ${\displaystyle b_{1}\,}$.

Como ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]=[a_{1},M_{1}]\bigcup [M_{1},b_{1}]\,}$, deve haver pelo menos um destes intervalos com a propriedade que ${\displaystyle x_{n}\,}$ pertence a ele infinitas vezes. Escolha um destes intervalos.

Defina ${\displaystyle x_{n_{2}}\,}$ como qualquer elemento da sequência que pertence ao intervalo escolhido contando que ${\displaystyle n_{2}>n_{1}\,}$ .

Se o intervalo escolhido foi aquele que fica à direita, então defina:

${\displaystyle a_{2}=M_{1}{\hbox{ e }}b_{2}=b_{1}\,}$

Caso contrário escolha:

${\displaystyle a_{2}=a_{1}{\hbox{ e }}b_{2}=M_{1}\,}$

Observe que:

${\displaystyle b_{2}-a_{2}={\frac {b_{1}-a_{1}}{2}}\,}$, ou seja, o comprimento do intervalo foi reduzido pela metade.

Repita este processo recursivamente, de forma a obter uma sequência de intervalos ${\displaystyle [a_{k},b_{k}]\,}$ e de pontos ${\displaystyle x_{n_{k}}\,}$ com as seguintes propriedades:

• ${\displaystyle x_{n_{k}}\in [a_{k},b_{k}]\,}$
• ${\displaystyle b_{k}-a_{k}={\frac {b_{k-1}-a_{k-1}}{2}}={\frac {b_{1}-a_{1}}{2^{k-1}}}\,}$
• ${\displaystyle a_{k}\geq a_{k-1}\,}$
• ${\displaystyle b_{k}\leq b_{k-1}\,}$

Assim, ${\displaystyle a_{k}\,}$ é uma sequência não-decrescente e limitada superiormente por ${\displaystyle b_{1}\,}$, portanto converge para um limite, digamos, ${\displaystyle a\,}$. ${\displaystyle b_{k}\,}$ é uma sequência não-crescente e limitada inferiormente por ${\displaystyle a_{1}\,}$, portanto também converge para um limite ${\displaystyle b\,}$.

Mas ${\displaystyle b_{k}-a_{k}={\frac {b_{1}-a_{1}}{2^{k-1}}}\to 0\,}$, portanto ${\displaystyle a=b\,}$. Como ${\displaystyle a_{k}\leq x_{n_{k}}\leq b_{k}\,}$, o teorema do confronto estabelece que ${\displaystyle x_{n_{k}}\,}$ converge para o mesmo limite.

Lema de Bolzano-Weierstrass em mais dimensões

A demonstração pode ser feita de duas formas.

Uma delas é generalizar a demonstração acima para ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\,}$:

Então seja ${\displaystyle x_{n}\,}$ limitada em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$, existe uma hipercubo (a rigor, um hiperparalelogramo) que contém a sequência:

${\displaystyle x_{n}\in [a_{1}^{1},b_{1}^{1}]\times [a_{1}^{2},b_{1}^{2}]\times \ldots \times [a_{1}^{n},b_{1}^{n}]\,}$

Dividindo-se, em cada passo, o hipercubo em ${\displaystyle 2^{m}\,}$ sub-hipercubos, constrói-se uma sequência ${\displaystyle \{x_{n_{k}}\}\,}$ da mesma forma como em ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$.

Agora escreva as componentes do vetor ${\displaystyle x_{n_{k}}=(x_{n_{k}}^{1},x_{n_{k}}^{2},\ldots ,x_{n_{k}}^{m})\,}$. Como ${\displaystyle a_{k}^{i}\leq x_{n_{k}}^{i}\leq b_{k}^{i},i=1,2,\ldots ,n\,}$, temos que cada componente está convergindo e, portanto, existe o limite: ${\displaystyle x_{n_{k}}\to x^{*}\,}$ O resultado segue.

Outra forma é por indução finita na dimensão m:

Para m = 1, temos o resultado em ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$

Se vale para ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\,}$, então, dada uma sequência em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}\,}$, temos que as coordenadas de 1 a m estão no ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\,}$, portanto existe uma subsequência convergente para estas coordenadas. A m+1-ésima coordenada desta subsequência está em ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$, portanto existe um sub-sub-sequência que converge para esta última coordenada. Agora é fácil ver que esta sub-sub-sequência converge para todas coordenadas, logo converge em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}\,}$ - o que prova o resultado.

Fechado e limitado implica sequencialmente compacto

Considere que um conjunto seja fechado e limitado, queremos mostrar que é sequencialmente compacto.

Seja ${\displaystyle \{x_{n}\}\,}$ uma sequência extraída do conjunto, como o conjunto é limitado, a sequência também o é. Pelo lema acima, ela admite uma subsequência convergente. Como o conjunto é fechado, o limite pertence ao conjunto.

Sequencialmente compacto implica limitado

Seja ${\displaystyle F\,}$ um conjunto não-limitado. Por não ser limitado, deve possuir uma sequência ${\displaystyle \{x_{n}\}\,}$ tal que: ${\displaystyle |x_{n}|\to \infty \,}$ que, portanto não converge.

Logo o conjunto não é sequêncialmente compacto.

Sequencialmente compacto implica fechado

Seja ${\displaystyle K\,}$ um conjunto seqüencialmente compacto e seja ${\displaystyle \{x_{n}\}\,}$ um sequência convergente extraída de ${\displaystyle K\,}$, da compacidade, segue que o limite pertence a ${\displaystyle K\,}$ e o resultado segue.

Ver também

• Teorema de Heine-Borel que afirma que um conjunto é compacto se e somente se é fechado e limitado.
• Paradoxos do infinito
• Bernard Bolzano
• Karl Weierstrass

Bibliografia

• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill 

• Portal da matemática