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Eletromagnetismo |
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![Solenoide](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/VFPt_Solenoid_correct2.svg/190px-VFPt_Solenoid_correct2.svg.png) |
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Formulação covariante [en] |
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O tensor de tensão de Maxwell (em homenagem a James Clerk Maxwell) é um tensor simétrico de segunda ordem usado no eletromagnetismo clássico para representar a interação entre as forças eletromagnéticas e o momento mecânico. Em situações simples, como uma carga pontual movendo-se livremente em um campo magnético homogêneo, é fácil calcular as forças sobre a carga a partir da lei de força de Lorentz. Quando a situação se torna mais complicada, esse procedimento comum pode se tornar impraticável, com equações abrangendo várias linhas. Portanto, é conveniente coletar muitos desses termos no tensor de tensão de Maxwell e usar a aritmética de tensores para encontrar a resposta para o problema em questão.
Na formulação relativística do eletromagnetismo, o tensor de Maxwell aparece como uma parte do tensor eletromagnético de tensão–energia que é o componente eletromagnético do tensor de tensão–energia total. O último descreve a densidade e o fluxo de energia e momento no espaço-tempo.
Motivação
Conforme descrito abaixo, a força eletromagnética é escrita em termos de
e
. Usando o cálculo vetorial e as equações de Maxwell, a simetria é procurada nos termos contendo
e
, e a introdução do tensor de tensão de Maxwell simplifica o resultado.
Equações de Maxwell em unidades SI em vácuo
(para referência) Nome | Forma diferencial |
Lei de Gauss (no vácuo) | |
Lei de Gauss para magnetismo | |
Equação de Maxwell – Faraday (Lei de indução de Faraday) | |
Lei dos circuitos de Ampère (no vácuo) (com a correção de Maxwell) | |
- Começando com a lei de força de Lorentz
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\\[3pt]&=\int (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\rho \mathrm {d} \tau \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260a8c6f1ab464168c47b559120d9d007b0f9053)
a força por unidade de volume é ![{\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b874c8e0f6ad41637c0c165c369b07a7a8cebc)
- Em seguida,
e
podem ser substituídos pelos campos
e
, usando a lei de Gauss e a lei dos circuitos de Ampère: ![{\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60b90bc278b2aabdcb1b316a12520886f2f2247e)
- A derivada do tempo pode ser reescrita para algo que pode ser interpretado fisicamente, ou seja, o vetor de Poynting. Usando a regra do produto e a lei de indução de Faraday dá
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd7329b932df4dc36b326179437cdba7e416cb12)
e agora podemos reescrever
como ![{\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\varepsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b56a4055440001bbc7f10ab44f2ec34ff71376)
então coletar termos com
e
dá ![{\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[-\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9c7d13f0d3c2020ff30ccfd8a7df1bd93f231b7)
- Um termo parece estar "faltando" da simetria em
e
, o que pode ser obtido inserindo
por causa da lei de Gauss para o magnetismo: ![{\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1960cabc47edd5632c9dcfd66b85f66d96fe201)
Eliminando as ondulações (que são bastante complicados de calcular), usando a identidade de cálculo vetorial ![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f2b45c446c48fc8a9ca273b02f623a0ae11bb40)
leva a: ![{\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ce5f8cd75df87ca2c9ef3b8af7e5ac5ccd53d0)
- Essa expressão contém todos os aspectos do eletromagnetismo e do momento e é relativamente fácil de calcular. Pode ser escrito de forma mais compacta introduzindo o tensor de tensão de Maxwell,
![{\displaystyle \sigma _{ij}\equiv \varepsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d67b2478138330c4b050ac98fc959ae60d1ea9)
Todos, exceto o último termo de
podem ser escritos como a divergência do tensor de tensão de Maxwell, dando: ![{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {f} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4144dbc3938efa769865d01ed9da17de531ccd53)
Como no teorema de Poynting, o segundo termo no lado direito da equação acima pode ser interpretado como a derivada temporal da densidade de momento do campo eletromagnético, enquanto o primeiro termo é a derivada temporal da densidade de momento para as partículas massivas. Desta forma, a equação acima será a lei de conservação do momento na eletrodinâmica clássica. onde o vetor de Poynting foi introduzido ![{\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fc7d7442965f8f7815922889619b2e4880fc15a)
na relação acima para a conservação do momento,
é a densidade do fluxo de momento e desempenha um papel semelhante a
no teorema de Poynting.
A derivação acima assume conhecimento completo de ambos
e
(tanto cargas livres quanto limitadas e correntes). Para o caso de materiais não lineares (como ferro magnético com uma curva BH), o tensor de tensão de Maxwell não linear deve ser usado.[1]
Equação
Na física, o tensor de tensão de Maxwell é o tensor de tensão de um campo eletromagnético. Conforme derivado acima em unidades S.I., é dado por:
,
onde
é a constante elétrica e
é a constante magnética,
é o campo elétrico,
é o campo magnético e
é o delta de Kronecker. Na unidade cgs gaussiana, é dado por:
,
onde
é o campo magnetizante [en].
Uma forma alternativa de expressar este tensor é:
![{\displaystyle {\overset {\leftrightarrow }{\boldsymbol {\sigma }}}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} -{\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {I} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc96a687899ade8163f388d7766b1fcfcc27de05)
onde
é o produto diádico, e o último tensor é a díade unitária:
![{\displaystyle \mathbb {I} \equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=\left(\mathbf {\hat {x}} \otimes \mathbf {\hat {x}} +\mathbf {\hat {y}} \otimes \mathbf {\hat {y}} +\mathbf {\hat {z}} \otimes \mathbf {\hat {z}} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b00af879a639de90c5ee955fb18b79820f77f757)
O elemento
do tensor de tensão de Maxwell tem unidades de momento por unidade de área por unidade de tempo e fornece o fluxo de momento paralelo ao
-ésimo eixo cruzando uma superfície normal ao
-ésimo eixo (na direção negativa) por unidade de tempo.
Essas unidades também podem ser vistas como unidades de força por unidade de área (pressão negativa), e o elemento
do tensor também pode ser interpretado como a força paralela ao
-ésimo eixo sofrida por uma superfície normal ao
-ésimo eixo por unidade de área. De fato, os elementos diagonais fornecem a tensão (puxando) atuando em um elemento de área diferencial normal ao eixo correspondente. Ao contrário das forças devido à pressão de um gás ideal, um elemento de área no campo eletromagnético também sente uma força em uma direção que não é normal ao elemento. Este cisalhamento é dado pelos elementos fora da diagonal do tensor de tensão.
O tensor de tensão de Maxwell é um número complexo cuja parte real é a densidade de fluxo de momento [en] de Poynting.[2]
Na magnetostática
Se o campo for apenas magnético (o que é amplamente verdadeiro em motores, por exemplo), alguns dos termos desaparecem e a equação em unidades S.I. torna-se:
![{\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{ij}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46673fda491d43e8a1ff726e1d5c434c2bf0f603)
Para objetos cilíndricos, como o rotor de um motor, isso é ainda mais simplificado para:
![{\displaystyle \sigma _{rt}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{r}B_{t}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{rt}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83915bcb585bb3c87d15bbc86fefed428d441092)
onde
é o cisalhamento na direção radial (para fora do cilindro) e
é o cisalhamento na direção tangencial (ao redor do cilindro). É a força tangencial que gira o motor.
é a densidade de fluxo na direção radial, e
é a densidade de fluxo na direção tangencial.
Na eletrostática
Na eletrostática, os efeitos do magnetismo não estão presentes. Neste caso, o campo magnético desaparece, ou seja,
, e obtemos o tensor de tensão de Maxwell eletrostático. Ele é dado na forma de componentes por:
![{\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56048d0134ea3ae3b93f38bfe11664f67e767c76)
e na forma simbólica por:
![{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\varepsilon _{0}\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} -{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {I} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8adced90ce58fbac7a7667937032dc9597b59f91)
onde
é o tensor de identidade apropriado
geralmente
.
Autovalor
Os autovalores do tensor de tensão de Maxwell são dados por:
![{\displaystyle \{\lambda \}=\left\{-\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right),~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)^{2}+{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)^{2}}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dc3f9811541a7263e9f280974b9a32b0431b624)
Esses autovalores são obtidos pela aplicação iterativa do lema dos determinantes da matriz, em conjunto com a fórmula de Sherman–Morrison [en].
Observando que a matriz de equação característica,
, pode ser escrita como
![{\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69ef7ba0c914130a7982035dfc62bbfe2e25343)
onde
![{\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87c07c0ba96c06ab6a326147f95043691bf8fc21)
definimos
![{\displaystyle \mathbf {U} =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4760491dc10bedc828a43434b68975e8aebad5c4)
Aplicando o lema do determinante de matriz uma vez, isso nos dá
![{\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\det {\left(\mathbf {U} \right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbcd7adabeb6563d2a5c917321dd68d50e17f386)
Aplicá-lo novamente produz,
![{\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\left(1-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }{\lambda +V}}\right)\left(-\lambda -V\right)^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65caa18e247d1ae800491a2042b330faad99d8ef)
A partir do último multiplicando no RHS, vemos imediatamente que
é um dos autovalores.
Para encontrar o inverso de
, usamos a fórmula de Sherman-Morrison:
![{\displaystyle \mathbf {U} ^{-1}=-\left(\lambda +V\right)^{-1}-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}{\left(\lambda +V\right)^{2}-\left(\lambda +V\right)\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f49c1f3b872a2f41a41e8b523dc204a7595cb7f)
Fatorando um termo
no determinante, resta-nos encontrar os zeros da função racional:
![{\displaystyle \left(-\left(\lambda +V\right)-{\frac {\epsilon _{0}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}{\mu _{0}\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}}\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49e589bcd9d193e7086fa47fd29f0e301e321d96)
Assim, uma vez que resolvemos
![{\displaystyle -\left(\lambda +V\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}E^{2}\right)-{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5f8b212ff05829376a1879ffcd14d323006602)
obtemos os outros dois autovalores.
Ver também
Referências
- ↑ Brauer, John R. (13 de janeiro de 2014). Magnetic actuators and densors (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9781118754979
- ↑ Academia chinesa de ciências (14 de outubro de 2022). «The complex Maxwell stress tensor theorem: A novel scenery underlying electromagnetic optical forces». Phys.org [en] (em inglês). doi:10.1038/s41377-022-00979-2. Consultado em 19 de outubro de 2022
- David J. Griffiths, "Introduction to electrodynamics" (em inglês) páginas 351 – 352, Benjamin Cummings Inc., 2008
- John David Jackson, "Classical electrodynamics" (em inglês), 3ª edição, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
- Richard Becker, "Electromagnetic fields and interactions" (em inglês), Dover publications Inc., 1964.