Inversa de Moore-Penrose

Em matemática, e em particular em álgebra linear, a matriz inversa de Moore-Penrose ${\displaystyle A^{+}}$ de uma matriz ${\displaystyle A}$ é a generalização mais conhecida da matriz inversa.^{[1] [2] [3] [4]} Ela foi descrita independentemente por EH Moore^[5] em 1920, Arne Bjerhammar^[6] em 1951 e Roger Penrose^[7] em 1955. Anteriormente, Erik Ivar Fredholm introduziu o conceito de pseudoinversa para operadores integrais em 1903. Ao se referir a uma matriz, o termo pseudoinversa, sem maiores especificações, é frequentemente usado para indicar a inversa de Moore-Penrose. O termo inversa generalizada às vezes é usado como sinônimo de pseudoinversa.

Um uso comum da pseudoinversa é o cálculo da solução de mínimos quadrados para um sistema de equações lineares que não possui solução. Outro uso é encontrar a solução de norma (euclidiana) mínima para um sistema de equações lineares com múltiplas soluções. A matriz pseudoinversa facilita o enunciado e a e a prova de resultados em álgebra linear.

A pseudoinversa é definida e única para todas as matrizes cujas entradas são números reais ou complexos. Pode ser determinada usando-se a decomposição de valores singulares. No caso especial em que ${\displaystyle A}$ é uma matriz normal (por exemplo, uma matriz Hermitiana), a pseudoinversa ${\displaystyle A^{+}}$anula o núcleo de ${\displaystyle A}$ e atua como uma inversa tradicional de ${\displaystyle A}$ no subespaço ortogonal ao núcleo.

Notação

Na discussão a seguir, as seguintes convenções são adotadas:

• ${\displaystyle \mathbb {K} }$ denota o corpo dos números reais (${\displaystyle \mathbb {R} }$) ou o cordos dos números complexos (${\displaystyle \mathbb {C} }$). O espaço vetorial de matrizes ${\displaystyle m\times n}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {K} }$ é denotado por ${\displaystyle \mathbb {K} ^{m\times n}}$.
• Para ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{m\times n}}$, sua transposta é denotada por ${\displaystyle A^{\operatorname {T} }}$ e a transposta conjugada (também chamada de adjunta) é denotada por ${\displaystyle A^{*}}$. Se ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$, entãoo ${\displaystyle A^{*}=A^{\operatorname {T} }}$.
• Para ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{m\times n}}$, ${\displaystyle \operatorname {Col} (A)}$ denota o espaço coluna (imagem) de ${\displaystyle A}$ (o espaço gerado pelos vetores colunas de ${\displaystyle A}$) e ${\displaystyle \operatorname {Nul} (A)}$ (ou ${\displaystyle \ker(A)}$) denota o núcleo (espaço nulo) de ${\displaystyle A}$.
• Para qualquer inteiro positivo ${\displaystyle n}$, a matriz identidade de ordem ${\displaystyle n\times n}$ é denotada por ${\displaystyle I_{n}\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$.

Definição

Para ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{m\times n}}$, uma pseudoinversa de A é definida como uma matriz ${\displaystyle A^{+}\in \mathbb {K} ^{n\times m}}$ satisfazendo todos os quatro critérios a seguir, conhecidos como condições de Moore-Penrose:^[8][9]

1. ${\displaystyle AA^{+}}$ não precisa ser a matriz identidade, mas deve mapear todos os vetores colunas de A em si mesmos:
   $${\displaystyle AA^{+}A=\;A.}$$

   
2. ${\displaystyle A^{+}}$ atua como uma inversa graca:
   $${\displaystyle A^{+}AA^{+}=\;A^{+}.}$$

   
3. ${\displaystyle AA^{+}}$ é Hermitiana:
   $${\displaystyle \left(AA^{+}\right)^{*}=\;AA^{+}.}$$

   
4. ${\displaystyle A^{+}A}$ também é Hermitiana:
   $${\displaystyle \left(A^{+}A\right)^{*}=\;A^{+}A.}$$

   

A pseudoinversa ${\displaystyle A^{+}}$ existe para qualquer matriz ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{m\times n}}$. Se, além disso, ${\displaystyle A}$ tem posto completo, ou seja, seu posto é ${\displaystyle \min\{m,n\}}$, então ${\displaystyle A^{+}}$ tem uma expressão algébrica particularmente simples.

Em particular, quando ${\displaystyle A}$ tem colunas linearmente independentes (equivalentemente, ${\displaystyle A}$ é injetiva e, portanto ${\displaystyle A^{*}A}$ é invertível), ${\displaystyle A^{+}}$ pode ser calculado como

Esta pseudoinversa específica é uma inversa à esquerda, ou seja, ${\displaystyle A^{+}A=I}$ . Se, por outro lado, ${\displaystyle A}$ tem linhas linearmente independentes (equivalentemente, ${\displaystyle A}$ é sobrejetiva e, portanto, ${\displaystyle AA^{*}}$ é invertível), ${\displaystyle A^{+}}$ pode ser calculado como

Esta é uma inversa à direita, uma vez que ${\displaystyle AA^{+}=I}$.

No caso mais geral, a matriz pseudoinversa pode ser expressa usando-se a decomposição de valores singulares. Qualquer matriz pode ser decomposta como ${\displaystyle A=UDV^{*}}$ para algumas matrizes ${\displaystyle U,V}$ e matriz real positiva diagonal ${\displaystyle D}$ . A pseudoinversa pode então ser escrita como ${\displaystyle A^{+}=VD^{-1}U^{*}}$ . Que esta matriz satisfaz o requisito acima é verificado diretamente observando que ${\displaystyle AA^{+}=UU^{*}}$ e ${\displaystyle A^{+}A=VV^{*}}$, que são as projeções na imagem e suporte de ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A}$, respectivamente.

Propriedades

Existência e unicidade

Para qualquer matriz ${\displaystyle A}$, existe uma, e somente uma pseudoinversa ${\displaystyle A^{+}}$.^[10]

Uma matriz que satisfaz a primeira condição da definição é conhecida como inversa generalizada. Se a matriz também satisfaz a segunda definição, ela é chamada de inversa generalizada reflexiva. Inversas generalizadas sempre existem, mas em geral não são únicas. A unicidade é uma consequência dessas duas condições.

Propriedades básicas

• Se ${\displaystyle A}$ tem entradas reais, então ${\displaystyle A^{+}}$ também tem.
• Se ${\displaystyle A}$ é invertível, sua pseudoinversa é sua inversa, ou seja, ${\displaystyle A^{+}=A^{-1}}$.^[11]
• A pseudoinversa de uma matriz nula é sua transposta, ou seja, ${\displaystyle A^{+}=A^{\operatorname {T} }}$.
• A pseudoinversa da pseudoinversa de ${\displaystyle A}$ é a própria matriz ${\displaystyle A}$, ou seja, ${\displaystyle \left(A^{+}\right)^{+}=A}$.^[11]
• Pseudoinversion commutes with transposition, conjugation, and taking the conjugate transpose:^[11]:245

  ${\displaystyle \left(A^{\mathrm {T} }\right)^{+}=\left(A^{+}\right)^{\mathrm {T} }}$, ${\displaystyle \left({\overline {A}}\right)^{+}={\overline {A^{+}}}}$, ${\displaystyle \left(A^{*}\right)^{+}=\left(A^{+}\right)^{*}}$.

• A pseudoinversa de um múltiplo escalar de ${\displaystyle A}$ é o múltiplo inverso de ${\displaystyle A^{+}}$, ou seja, ${\displaystyle \left(\alpha A\right)^{+}=\alpha ^{-1}A^{+}}$ for ${\displaystyle \alpha \neq 0}$.

Identidades

As seguintes identidades podem ser usadas para simplificar ou expandir expressões envolvendo pseudoinversas:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}A^{+}={}&A^{+}&&A^{+*}&&A^{*}\\={}&A^{*}&&A^{+*}&&A^{+},\\A={}&A^{+*}&&A^{*}&&A\\={}&A&&A^{*}&&A^{+*},\\A^{*}={}&A^{*}&&A&&A^{+}\\={}&A^{+}&&A&&A^{*}.\end{alignedat}}}$

Exemplos

Como para matrizes invertíveis a pseudoinversa é igual à inversa usual, apenas exemplos de matrizes não invertíveis são apresentados abaixo.

• Para ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},\,}$ a pseudoinversa é ${\displaystyle \mathbf {A^{+}} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}$ (De modo geral, a pseudoinversa de uma matriz nula é a sua transposta). A unicidade desta pseudoinversa pode ser vista a partir da condição ${\displaystyle A^{+}=A^{+}AA^{+}}$, já que a multiplicação por uma matriz nual sempre produz uma matriz nula.

• Para ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}},\,}$ a pseudoinversa é ${\displaystyle \mathbf {A^{+}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}.}$
  De fato, ${\displaystyle \mathbf {A\,A^{+}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\,}$ e portanto ${\displaystyle \mathbf {A\,A^{+}A} ={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}=A.}$
  Similarmente, ${\displaystyle \mathbf {A^{+}A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},\,}$ e portanto ${\displaystyle \mathbf {A^{+}A\,A^{+}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}=A^{+}.}$

• Para ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\-1&0\end{pmatrix}},\ }$ ${\displaystyle \mathbf {A^{+}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}.}$

• Para ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix}},\ }$ ${\displaystyle \mathbf {A^{+}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{5}}&{\frac {2}{5}}\\0&0\end{pmatrix}}.}$ (Os denominadores são ${\displaystyle 5=1^{2}+2^{2}}$.)

• Para ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}},\ }$ ${\displaystyle \mathbf {A^{+}} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}.}$

• Para ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&1\end{pmatrix}},\,}$ a pseudoinversa é ${\displaystyle \mathbf {A^{+}} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.}$
  Observe que para esta matriz, a inversa à esquerda existe e, portanto, é igual ${\displaystyle \mathbf {A^{+}} }$. De fato, ${\displaystyle \mathbf {A^{+}A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Ver também

• Inversa de Drazin
• Método dos mínimos quadrados
• Elemento inverso

Referências

Bibliografia

• Ben-Israel, Adi; Greville, Thomas N.E. (2003). Generalized inverses: Theory and applications 2nd ed. New York, NY: Springer. ISBN 978-0-387-00293-4. doi:10.1007/b97366 
• Campbell, S. L.; Meyer, Jr., C. D. (1991). Generalized Inverses of Linear Transformations. [S.l.]: Dover. ISBN 978-0-486-66693-8 
• Nakamura, Yoshihiko (1991). Advanced Robotics: Redundancy and Optimization. [S.l.]: Addison-Wesley. ISBN 978-0201151985 
• Rao, C. Radhakrishna; Mitra, Sujit Kumar (1971). Generalized Inverse of Matrices and its Applications. New York: John Wiley & Sons. p. 240. ISBN 978-0-471-70821-6