Coordenadas baricêntricas

As coordenadas baricêntricas definem uma forma de representação de um ponto no espaço em função de outros pontos, chamados pontos de controle, de modo que a soma das coordenadas baricêntricas deste ponto seja igual a um. Estas coordenadas são muito utilizadas em sistemas de informação gráfica para a representação de Curvas de Bézier.

Elas foram propostas por August Ferdinand Möbius em 1827, no seu livro The Barycentric Calculus^[1].

Definição

${\displaystyle \color {Black}P=uP1+vP2+wP3}$

${\displaystyle \color {Black}u+v+w=1}$

Em que ${\displaystyle P}$ representa um ponto no espaço, ${\displaystyle P1}$, ${\displaystyle P2}$ e ${\displaystyle P3}$ são os pontos de controle e ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$ e ${\displaystyle w}$ são os escalares que formam as coordenadas baricêntricas do ponto ${\displaystyle P}$.^[2]

Interpretação Geométrica

É possível interpretar as coordenadas baricêntricas como a representação de um ponto no interior de uma forma geométrica determinada por pontos de controle. No exemplo abaixo ${\displaystyle P}$ está no interior de um triângulo formado pelos pontos de controle ${\displaystyle P1}$ , ${\displaystyle P2}$ , ${\displaystyle P3}$.

${\displaystyle u={\frac {area(PP2P3)}{area(P1P2P3)}}}$

${\displaystyle v={\frac {area(P1PP3)}{area(P1P2P3)}}}$

${\displaystyle w={\frac {area(P1P2P)}{area(P1P2P3)}}}$

Deste modo podemos representar ${\displaystyle P}$ em coordenadas baricêntricas em relação a ${\displaystyle P1}$ , ${\displaystyle P2}$ e ${\displaystyle P3}$ pela forma:

${\displaystyle \color {Black}P=(u,v,w)}$

Referências

• Síntese de Imagens: Uma Introdução ao Mundo de Desenho e Pintura dos Sistemas Digitais

Wu, Shin - Ting

• Processamento de Imagens Digitais, Rafael C. Gonzalez e Richard E. Woods