Operator słabo zwarty

Operator słabo zwarty – operator liniowy T : X → Y {\displaystyle T\colon X\to Y} pomiędzy przestrzeniami unormowanymi X {\displaystyle X} i Y {\displaystyle Y} o tej własności, że domknięcie obrazu kuli jednostkowej B {\displaystyle B} przestrzeni X {\displaystyle X} jest słabo zwartym podzbiorem przestrzeni Y . {\displaystyle Y.} Każdy operator słabo zwarty jest ograniczony (a więc ciągły). Pojęcie operatora słabo zwartego definiowane jest czasami dla szerszych klas przestrzeni liniowo-topologicznych.

Rodzina wszystkich operatorów słabo zwartych określonych pomiędzy przestrzeniami Banacha X {\displaystyle X} i Y {\displaystyle Y} oznaczana jest często symbolem W ( X , Y ) {\displaystyle {\mathcal {W}}(X,Y)} (lub W ( X ) , {\displaystyle {\mathcal {W}}(X),} gdy X = Y {\displaystyle X=Y} ) i jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni wszystkich operatorów ograniczonych z przestrzeni X {\displaystyle X} w przestrzeń Y . {\displaystyle Y.} Klasa wszystkich operatorów słabo zwartych pomiędzy dowolnymi przestrzeniami jest ideałem operatorowym (w sensie Pietscha). W szczególności, rodzina wszystkich operatorów słabo zwartych na X {\displaystyle X} jest domkniętym ideałem algebry wszystkich operatorów ograniczonych na X . {\displaystyle X.}

Własności

  • Operator ograniczony T : X → Y {\displaystyle T\colon X\to Y} jest słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy T ∗ ∗ [ X ∗ ∗ ] {\displaystyle T^{**}[X^{**}]} jest podzbiorem przestrzeni Y {\displaystyle Y} (utożsamionej z podprzestrzenią przestrzeni Y ∗ ∗ {\displaystyle Y^{**}} ). W szczególności, przestrzeń Banacha X {\displaystyle X} jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy operator ograniczony na X {\displaystyle X} jest słabo zwarty.
  • Każdy operator zwarty jest słabo zwarty. Przeciwna implikacja na ogół nie zachodzi: operator identycznościowy na nieskończenie wymiarowej przestrzeni refleksywnej jest słabo zwarty, ale nie jest zwarty.
  • Twierdzenie Gantmacher: Operator ograniczony działający pomiędzy przestrzeniami Banacha jest słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator do niego sprzężony jest słabo zwarty.
  • Jeżeli E {\displaystyle E} jest p {\displaystyle p} -tą przestrzenią Jamesa bądź E {\displaystyle E} jest przestrzenią ℓ ∞ , {\displaystyle \ell ^{\infty },} to W ( E ) {\displaystyle {\mathcal {W}}(E)} jest jedynym ideałem maksymalnym w algebrze operatorów ograniczonych na E {\displaystyle E} [1].
  • Jeżeli K {\displaystyle K} jest przeliczalną zwartą przestrzenią metryczną, to każdy operator słabo zwarty na przestrzeni C ( K ) {\displaystyle C(K)} jest zwarty.

Przypisy

  1. ↑ N.J. Laustsen, Maximal ideals in the algebra of operators on certain Banach spaces, „Proc. Edinburgh Math. Soc.” 45 (2002), s. 523–546.

Bibliografia

  • John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990. ISBN 0-387-97245-5.
  • Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.
  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, s. 339–345, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
  • Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.
  • Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 978-83-01-15802-6.