Kategoria przestrzeni topologicznych

Kategoria przestrzeni topologicznych – kategoria, często oznaczana ${\displaystyle \mathbf {Top} ,}$ której obiektami są przestrzenie topologiczne, a morfizmami są przekształcenia ciągłe. Jest to dobrze określona kategoria, ponieważ złożenie dwóch funkcji ciągłych jest ciągłe. Badanie ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ oraz własności przestrzeni topologicznych za pomocą technik teorii kategorii znane jest jako topologia kategoryjna.

Uwaga: niektórzy autorzy symbolem ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ oznaczają kategorię z rozmaitościami topologicznymi jako obiektami i przekształceniami ciągłymi jako morfizmami.

Kategoria konkretna

Kategoria ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ jest kategorią konkretną (która znana jest również jako konstrukt), co oznacza, że jej obiektami są zbiory z dodatkową strukturą (tzn. topologiami), a morfizmami są funkcje zachowujące tę strukturę. Istnieje naturalny funktor zapominania

${\displaystyle U\colon \mathbf {Top} \to \mathbf {Set} }$

w kategorię zbiorów, która przypisuje każdej przestrzeni topologicznej zbiór, na którym została określona, a każdemu przekształceniu ciągłemu funkcję, która je definiuje.

Funktor zapominania ${\displaystyle U}$ ma tak sprzężenie lewostronne

${\displaystyle D\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Top} ,}$

które wyposaża dany zbiór w topologię dyskretną, jak i sprzężenie prawostronne

${\displaystyle I\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Top} ,}$

które wyposaża dany zbiór w topologię antydyskretną. Oba te funktory są w rzeczywistości prawostronnymi odwrotnościami ${\displaystyle U,}$ co oznacza, że ${\displaystyle UD}$ oraz ${\displaystyle UI}$ są równe funktorowi tożsamościowemu na ${\displaystyle \mathbf {Set} .}$ Więcej, ponieważ dowolna funkcja między przestrzeniami dyskretnymi, czy antydyskretnymi jest ciągła, to oba te funktory dają pełne zanurzenia ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ w ${\displaystyle \mathbf {Top} .}$

Konstrukt ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ jest także zupełnym ze względu na włókna, tzn. kategoria wszystkich topologii na danym zbiorze ${\displaystyle X,}$ nazywana włóknem ${\displaystyle U}$ nad ${\displaystyle X,}$ tworzy kratę zupełną ze względu na zawieranie. Elementem największym tego włókna jest topologia dyskretna na ${\displaystyle X,}$ zaś elementem najmniejszym jest topologia antydyskretna.

Konstrukt ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ jest modelem tzw. kategorii topologicznej. Kategorie te charakteryzują się tym, że każda dziedzina ustrukturyzowana (ang. structured source) ${\displaystyle (X\to UA_{i})_{I}}$ ma jednoznacznie wyznaczone podniesienie początkowe (ang. initial lift) ${\displaystyle (A\to A_{i})_{I}.}$ Podniesienie początkowe w ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ uzyskuje się przez przyjęcie topologii początkowej w dziedzinie. Kategorie topologiczne mają wiele dobrych własności wspólnych z ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ (takich jak zupełność ze względu na włókna, funktory dyskretny i antydyskretny, jednoznaczność podniesienia granic).

Granice i kogranice

Kategoria ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ jest zarazem zupełna i kozupełna, co oznacza, że w ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ istnieją wszystkie małe granice i kogranice. Istotnie, funktor zapominania ${\displaystyle U\colon \mathbf {Top} \to \mathbf {Set} }$ jednoznacznie podnosi tak granice, jak i kogranice, a przy tym je zachowuje. Stąd (ko)granice w ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ dane są poprzez przyjęcie topologii w odpowiednich (ko)granicach w ${\displaystyle \mathbf {Set} .}$

Dokładniej, jeśli ${\displaystyle F}$ jest diagramem w ${\displaystyle \mathbf {Top} ,}$ zaś ${\displaystyle (L,\varphi )}$ jest granicą ${\displaystyle UF}$ w ${\displaystyle \mathbf {Set} ,}$ to odpowiadającą jej granicę ${\displaystyle F}$ w ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ uzyskuje się przyjmując topologię początkową na ${\displaystyle (L,\varphi ).}$ Dualnie, kogranice w ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ uzyskuje się poprzez przyjęcie topologii końcowej w odpowiednich kogranicach w ${\displaystyle \mathbf {Set} .}$

W przeciwieństwie do wielu kategorii algebraicznych funktor zapominania ${\displaystyle U\colon \mathbf {Top} \to \mathbf {Set} }$ nie tworzy, a nie zachowuje granic, ponieważ zwykle znajdą się nieuniwersalne stożki w ${\displaystyle \mathbf {Top} ,}$ które pokrywać będą stożki uniwersalne w ${\displaystyle \mathbf {Set} .}$

Wśród przykładów granic i kogranic w ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ można wymienić:

• Zbiór pusty (rozumiany jako przestrzeń topologiczna) jest obiektem początkowym ${\displaystyle \mathbf {Top} ;}$ dowolna jednoelementowa przestrzeń topologiczna jest obiektem końcowym. Brak zatem w ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ obiektów zerowych.
• Produkt w ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ dany jest jako topologia produktowa na produkcie kartezjańskim. Koprodukt dany jest jako suma rozłączna przestrzeni topologicznych.
• Ekwalizator pary morfizmów dany jest poprzez przyjęcie topologii przestrzeni w ekwalizatorze teoriomnogościowym. Dualnie koekwalizator dany jest poprzez przyjęcie topologii ilorazowej w koekwilizatorze teoriomnogościowym.
• Granice proste i granice odwrotne są granicami teoriomnogościowymi z odpowiednio topologią końcową i topologią początkową.
• Przestrzenie sklejone są przykładami koproduktów włóknistych (pushoutów) w ${\displaystyle \mathbf {Top} .}$

Inne własności

• Monomorfizmy i epimorfizmy w ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ są odpowiednio iniektywnymi i surjektywnymi przekształceniami ciągłymi, zaś izomorfizmami są homeomorfizmy.
• Monomorfizmy ekstremalne są (co do izomorfizmu) zanurzeniami podprzestrzeni. Każdy monomorfizm ekstremalny jest regularny.
• Epimorfizmy ekstremalne są (w swej istocie) przekształceniami ilorazowymi. Każdy epimorfizm ekstremalny jest regularny.
• Brak w ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ morfizmów zerowych, w szczególności kategoria ta nie jest preaddytywna.
• Kategoria ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ nie jest domknięta kartezjańsko (nie jest więc także toposem), ponieważ nie wszystkie przestrzenie mają obiekty wykładnicze.

Związki z innymi kategoriami

• Kategoria przestrzeni z wyróżnionym punktem ${\displaystyle \mathbf {Top_{\bullet }} }$ jest kopłatem kategorii (ang. coslice category) pod ${\displaystyle \mathbf {Top} .}$
• Kategoria homotopii przestrzeni topologicznych ${\displaystyle \mathbf {hTop} }$ ma za obiekty przestrzenie topologiczne, morfizmami w niej są z kolei klasy równoważności homotopii przekształceń ciągłych. Jest to kategoria ilorazowa ${\displaystyle \mathbf {Top} .}$ Można podobnie zdefiniować kategorię homotopii z wyróżnionym punktem ${\displaystyle \mathbf {hTop_{\bullet }} .}$
• Kategoria ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ zawiera ważną kategorię ${\displaystyle \mathbf {Haus} }$ przestrzeni topologicznych mających własność Hausdorffa jako pełną podkategorię. Należy zauważyć, że struktura dodana tej podkategorii generuje więcej epimorfizmów: w istocie są to dokładnie te morfizmy, które mają gęste obrazy w przeciwdziedzinach; epimorfizmy nie muszą być zatem surjektywne.

Bibliografia

• Herrlich, Horst: Topologische Reflexionen und Coreflexionen. Springer Lecture Notes in Mathematics 78 (1968).
• Herrlich, Horst: Categorical topology 1971 - 1981. W: General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra 5, Heldermann Verlag 1983, ss. 279 - 383.
• Herrlich, Horst i Strecker, George E.: Categorical Topology - its origins, as examplified by the unfolding of the theory of topological reflections and coreflections before 1971. W: Handbook of the History of General Topology (red. C. E. Aull i R. Lowen), Kluwer Acad. Publ. tom 1 (1997) ss. 255 - 341.
• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst i Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). Pierwotnie wydane przez John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (teraz darmowe wydanie on-line).