Grupa diedralna

Płatki śniegu przejawiają symetrię dwuścienną sześciokąta foremnego.

Grupa diedralna[a] – grupa izometrii płaszczyznowych wielokąta foremnego przekształcająca go na siebie (tzw. „izometrii własnych”) albo ogólniej: dowolna grupa o strukturze identycznej ze strukturą grupy symetrii tego wielokąta (tzn. z nią izomorficzną). Można ją także traktować jako grupę izometrii parzystych (tzn. zachowujących orientację) dwuścianu foremnego w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej: symetriom wielokąta odpowiadają obroty przestrzeni trójwymiarowej.

Ponieważ dla n ⩾ 3 {\displaystyle n\geqslant 3} grupa symetrii n {\displaystyle n} -kąta foremnego ma 2 n {\displaystyle 2n} elementów, to spotyka się dwa sposoby oznaczania tej grupy: symbolem D n , {\displaystyle \mathrm {D} _{n},} który wyróżnia liczbę krawędzi wielokąta (tj. stopień) oraz D 2 n , {\displaystyle \mathrm {D} _{2n},} gdzie kładzie się nacisk na liczbę jej elementów (tj. rząd) – w dalszej części artykułu stosowana będzie pierwsza z notacji.

Definicję można rozszerzyć również na mniejsze od 3 {\displaystyle 3} liczby naturalne: jeśli n = 2 , {\displaystyle n=2,} to utożsamia się ją z grupą czwórkową Kleina; gdy n = 1 , {\displaystyle n=1,} to grupa ta jest izomorficzna z dwuelementową grupą cykliczną 2 {\displaystyle 2} (jedyną grupą tego rzędu); dla n = 0 {\displaystyle n=0} przyjmuje się, iż jest to grupa trywialna.

Elementy i generatory

Grupa diedralna trójkąta równobocznego składa się z trzech obrotów (o 120°, 240° i 360°) wokół środka tego trójkąta zamieniających cyklicznie kolory wierzchołków i trzech symetrii osiowych (przechodzących przez każdy wierzchołek i środek przeciwległego boku) zamieniających kolory dwóch wierzchołków przy zachowaniu koloru trzeciego – można wyobrażać je sobie jako obrót o 180° wokół osi symetrii w przestrzeni trójwymiarowej.

Niech n ⩾ 2 {\displaystyle n\geqslant 2} oraz r {\displaystyle \mathrm {r} } oznacza obrót płaszczyzny o kąt 360 ∘ n {\displaystyle {\tfrac {360^{\circ }}{n}}} wokół ustalonego jej punktu p , {\displaystyle p,} zaś s {\displaystyle \mathrm {s} } będzie jej dowolną symetrią osiową przechodzącą przez p . {\displaystyle p.} Ponieważ k {\displaystyle k} -krotne złożenie r {\displaystyle \mathrm {r} } ze sobą jest w istocie obrotem o 360 ∘ ⋅ k n ; {\displaystyle {\tfrac {360^{\circ }\cdot k}{n}};} w szczególności n {\displaystyle n} -krotne złożenie r {\displaystyle \mathrm {r} } jest obrotem o kąt pełny, który jest identycznością, tzn. r n = i d , {\displaystyle \mathrm {r} ^{n}=\mathrm {id} ,} to r {\displaystyle \mathrm {r} } jest elementem rzędu n {\displaystyle n} grupy D n . {\displaystyle \mathrm {D} _{n}.} Podobnie s {\displaystyle \mathrm {s} } jest elementem rzędu drugiego, gdyż s 2 = i d {\displaystyle \mathrm {s} ^{2}=\mathrm {id} } (z punktu widzenia teorii grup symetria osiowa jest więc transpozycją; z punktu widzenia geometrii jest inwolucją, gdyż sama stanowi swoją odwrotność). O wyniku złożenia obrotu r {\displaystyle \mathrm {r} } z symetrią osiową s {\displaystyle \mathrm {s} } można myśleć na kilka sposobów:

  • symetria osiowa zmienia orientację płaszczyzny na przeciwną, zatem obrót nią poprzedzony będzie odbywał się w przeciwnym kierunku niż wyjściowy, kolejna symetria osiowa przywraca orientację płaszczyzny – w ten sposób
s r s − 1 = s r s = r − 1 ; {\displaystyle \mathrm {srs} ^{-1}=\mathrm {srs} =\mathrm {r} ^{-1};}
  • z drugiej strony obrót „wybiera” oś symetrii po nim zastosowanej, kolejny obrót „przywracający” pierwotną oś musi być odwrotny ze względu na przyłożoną symetrię, a więc identyczny z pierwszym obrotem, tzn.
s = r − 1 s r − 1 ; {\displaystyle \mathrm {s} =\mathrm {r} ^{-1}\mathrm {sr} ^{-1};}
  • podobnie rozumując można uzasadnić tożsamość
r s = s r − 1 {\displaystyle \mathrm {rs} =\mathrm {sr} ^{-1}}
mówiącą o tym, że obrót poprzedzony symetrią daje ten sam wynik, co symetria poprzedzona obrotem w przeciwnym kierunku. W szczególności dla n ⩾ 3 {\displaystyle n\geqslant 3} grupa D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} nie jest abelowa (przemienna), gdyż wtedy r ≠ r − 1 . {\displaystyle \mathrm {r} \neq \mathrm {r} ^{-1}.}

Rozpatrując wyłącznie przekształcenia obrotów wokół wspólnego punktu i symetrii o osiach przechodzących przez ten wyróżniony punkt, jak ma to miejsce w wyżej opisywanej sytuacji, można zauważyć, że złożenie dwóch obrotów bądź dwóch symetrii jest obrotem, a złożenie symetrii z obrotem bądź obrotu z symetrią jest symetrią – w ten sposób przekształcenia tworzą zbiór zamknięty ze względu na ich składanie. Ponieważ składanie jest łączne, a każde ze składanych przekształceń ma przekształcenie do niego odwrotne, to przekształcenia te tworzą grupę. Dokładniej: z danego obrotu r {\displaystyle \mathrm {r} } można uzyskać n {\displaystyle n} obrotów (wliczając w to sam obrót r {\displaystyle \mathrm {r} } i obrót trywialny i d {\displaystyle \mathrm {id} } ) poprzez składanie ich ze sobą, a składając symetrię s {\displaystyle \mathrm {s} } z tymi obrotami otrzymuje się n {\displaystyle n} symetrii (wliczając w to symetrię s {\displaystyle \mathrm {s} } przy obrocie trywialnym i d {\displaystyle \mathrm {id} } ), to grupa tych przekształceń ma 2 n {\displaystyle 2n} elementów postaci r , r 2 , … , r n , s r , s r 2 , … , s r n , {\displaystyle \mathrm {r} ,\mathrm {r} ^{2},\dots ,\mathrm {r} ^{n},\mathrm {sr} ,\mathrm {sr} ^{2},\dots ,\mathrm {sr} ^{n},} gdzie r n = i d {\displaystyle \mathrm {r} ^{n}=\mathrm {id} } oraz s r n = s . {\displaystyle \mathrm {sr} ^{n}=\mathrm {s} .}

Wspomniana grupa może być rozpatrywana jako podgrupa grupy wszystkich symetrii n {\displaystyle n} -kąta foremnego. Jak pokazano wyżej, jest ona generowana przez obrót r {\displaystyle \mathrm {r} } rzędu n {\displaystyle n} i symetrię s {\displaystyle \mathrm {s} } rzędu 2 {\displaystyle 2} bądź przez dwie symetrie s , r s {\displaystyle \mathrm {s} ,\mathrm {rs} } rzędu 2 {\displaystyle 2} [b].

Własności i charakteryzacja

Rozkład grupy na klasy sprzężoności, tzn. podzbiory elementów zamkniętych ze względu na branie sprzężeń (automorfizmów wewnętrznych), zależy od jej stopnia n {\displaystyle n} [c]:

  • dla nieparzystego:
    { i d } , { r ± 1 } , … , { r ± ( n − 1 ) / 2 } , { r i s : 0 ⩽ i < n } ; {\displaystyle \{\mathrm {id} \},\left\{\mathrm {r} ^{\pm 1}\right\},\dots ,\left\{\mathrm {r} ^{\pm (n-1)/2}\right\},\left\{\mathrm {r} ^{i}s\colon 0\leqslant i<n\right\};}
  • dla parzystego:
    { i d } , { r ± 1 } , … , { r ± ( n / 2 − 1 ) } , { r n / 2 } , { r 2 i s : 0 ⩽ i < n 2 } , { r 2 i + 1 s : 0 ⩽ i < n 2 } . {\displaystyle \{\mathrm {id} \},\left\{\mathrm {r} ^{\pm 1}\right\},\dots ,\left\{\mathrm {r} ^{\pm (n/2-1)}\right\},\left\{\mathrm {r} ^{n/2}\right\},\left\{\mathrm {r} ^{2i}s\colon 0\leqslant i<{\tfrac {n}{2}}\right\},\left\{\mathrm {r} ^{2i+1}s\colon 0\leqslant i<{\tfrac {n}{2}}\right\}.}
Parzyste izometrie własne foremnego dwuścianu sześciokątnego na sferze (tj. przedstawionego jako wielościan sferyczny) tworzą grupę o tej samej strukturze, co grupa wszystkich izometrii własnych sześciokąta foremnego.

Klasy te mają odpowiednio 1 , 2 , … , 2 , n {\displaystyle 1,2,\dots ,2,n} oraz 1 , 2 , … , 2 , 1 , n / 2 , n / 2 {\displaystyle 1,2,\dots ,2,1,n/2,n/2} elementów. Dla n ⩾ 3 {\displaystyle n\geqslant 3} centrum grupy D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} jest trywialne w przypadku nieparzystym i równe { i d , r n / 2 } {\displaystyle \left\{\mathrm {id} ,\mathrm {r} ^{n/2}\right\}} w przypadku parzystym[d]. Wynika stąd, że jeśli n ⩾ 6 {\displaystyle n\geqslant 6} jest dwukrotnością liczby nieparzystej, to D n ≃ D n / 2 × Z 2 {\displaystyle \mathrm {D} _{n}\simeq \mathrm {D} _{n/2}\times \mathbb {Z} _{2}} [e][f]; w ogólności D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} jest zawsze izomorficzna z iloczynem półprostym Z n ⋊ Z 2 . {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}\rtimes \mathbb {Z} _{2}.} Komutant grupy D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} to ⟨ r 2 ⟩ {\displaystyle \langle r^{2}\rangle } [g][h].

Jeśli G = ⟨ a , b ⟩ {\displaystyle G=\langle a,b\rangle } (z elementem neutralnym e {\displaystyle e} ), gdzie a n = e {\displaystyle a^{n}=e} dla pewnego n ⩾ 3 {\displaystyle n\geqslant 3} oraz b 2 = e , {\displaystyle b^{2}=e,} a ponadto b a b − 1 = a − 1 , {\displaystyle bab^{-1}=a^{-1},} to istnieje epimorfizm D n → G ; {\displaystyle \mathrm {D} _{n}\to G;} jeśli | G | = 2 n , {\displaystyle |G|=2n,} to epimorfizm ten jest izomorfizmem[i]. Wspomniany epimorfizm jest wyznaczony jednoznacznie, zatem D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} jest uniwersalna jako grupa o dwóch generatorach spełniających jedno z trzech równań z poprzedniej sekcji. Z twierdzenia tego wynika istnienie reprezentacji D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} w postaci grupy macierzy stopnia 2 {\displaystyle 2} nad Z n , {\displaystyle \mathbb {Z} _{n},} mianowicie zbiór macierzy

D n ~ = { [ ± 1 c 0 1 ] : c ∈ Z n } {\displaystyle {\tilde {\mathrm {D} _{n}}}=\left\{{\begin{bmatrix}\pm 1&c\\0&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {Z} _{n}\right\}}

tworzy podgrupę pełnej grupy liniowej G L ( 2 , Z n ) ; {\displaystyle \mathrm {GL} (2,\mathbb {Z} _{n});} grupę tę można również przedstawić za pomocą wielomianów nad Z n {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}} postaci f ( x ) = ε x + c , {\displaystyle \mathrm {f} (x)=\varepsilon x+c,} gdzie ε = ± 1 , {\displaystyle \varepsilon =\pm 1,} a wyraz c {\displaystyle c} jest dowolny – składanie tego rodzaju wielomianów liniowych odpowiada mnożeniu powyższych macierzy; przedstawienia tego nie należy mylić z geometryczną reprezentacją D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} jako podgrupy G L ( 2 , R ) {\displaystyle \mathrm {GL} (2,\mathbb {R} )} w postaci izometrii własnych R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} generowaną za pomocą macierzy obrotu i odbicia,

[ cos ⁡ 2 π n − sin ⁡ 2 π n sin ⁡ 2 π n     cos ⁡ 2 π n ] , [ 1 0 0 − 1 ] ; {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos {\tfrac {2\pi }{n}}&-\sin {\tfrac {2\pi }{n}}\\\sin {\tfrac {2\pi }{n}}&\ \ \cos {\tfrac {2\pi }{n}}\end{bmatrix}},\qquad {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}};}

macierze te, traktowane jako liczby zespolone, odpowiadają pierwiastkowi pierwotnemu z jedynki stopnia n {\displaystyle n} oraz sprzężeniu zespolonemu tworzącym grupę (z działaniem mnożenia zespolonego) izomorficzną z D n . {\displaystyle \mathrm {D} _{n}.}

Jak opisano to w poprzedniej sekcji, grupa diedralna może być generowana przez dwa elementy rzędu 2. {\displaystyle 2.} Niech G = ⟨ x , y ⟩ , {\displaystyle G=\langle x,y\rangle ,} przy czym x 2 = y 2 = e . {\displaystyle x^{2}=y^{2}=e.} Jeśli x {\displaystyle x} oraz y {\displaystyle y} komutują (tzn. x y = y x {\displaystyle xy=yx} ), to G = { e , x , y , x y } {\displaystyle G=\{e,x,y,xy\}} – grupa ta jest izomorficzna z grupą czwórkową, o ile x ≠ y ; {\displaystyle x\neq y;} w przeciwnym przypadku G = { e , x } = ⟨ x ⟩ {\displaystyle G=\{e,x\}=\langle x\rangle } jest grupą cykliczną rzędu 2. {\displaystyle 2.} Jeżeli x {\displaystyle x} i y {\displaystyle y} nie komutują, to G {\displaystyle G} ma strukturę grupy diedralnej, tzn. jeśli G {\displaystyle G} jest skończoną grupą nieabelową generowaną przez dwa elementy rzędu 2 , {\displaystyle 2,} to jest ona izomorficzna z grupą diedralną. Na podstawie tych dwóch obserwacji można przyjąć następującą definicję:

Ogólna definicja grupy diedralnej
Grupa skończona generowana przez dwa elementy drugiego rzędu.

Większość własności z poprzedniej sekcji obowiązuje dla n > 0 , {\displaystyle n>0,} a nie tylko n ⩾ 3 {\displaystyle n\geqslant 3} – wyjątkami są stwierdzenie dotyczące postaci centrum oraz modelu D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} nad Z n ; {\displaystyle \mathbb {Z} _{n};} ponadto D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} nie można wtedy zanurzyć w S n , {\displaystyle \mathrm {S} _{n},} gdyż 2 n > n ! {\displaystyle 2n>n!} dla n ⩽ 2. {\displaystyle n\leqslant 2.}

W dowolnej grupie skończonej zawierającej dwa elementy x , y {\displaystyle x,y} rzędu 2 {\displaystyle 2} element x {\displaystyle x} musi być sprzężony z y , {\displaystyle y,} bądź x {\displaystyle x} i y {\displaystyle y} komutują ze wspólnym elementem rzędu 2. {\displaystyle 2.} Dowolny nietrywialny obraz homomorficzny grupy diedralnej jest grupą diedralną.

Struktura podgrup

 Zobacz też: podgrupa i indeks podgrupy względem grupy.

Dowolna podgrupa grupy D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} jest:

  • cykliczna, postaci ⟨ r d ⟩ , {\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{d}\rangle ,} gdzie d | n , {\displaystyle d|n,} i indeksu 2 d ; {\displaystyle 2d;} bądź
  • diedralna, postaci ⟨ r d , r i s ⟩ , {\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{d},\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} \rangle ,} gdzie d | n {\displaystyle d|n} oraz 0 ⩽ i < d , {\displaystyle 0\leqslant i<d,} i indeksu d ; {\displaystyle d;}

postaci podgrup są przy tym jednoznaczne. Jeśli n {\displaystyle n} jest nieparzysta i m | 2 n , {\displaystyle m|2n,} to istnieje m {\displaystyle m} podgrup D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} indeksu m {\displaystyle m} dla nieparzystej m {\displaystyle m} (sprzężonych z ⟨ r m , s ⟩ {\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{m},\mathrm {s} \rangle } ) oraz jedna podgrupa D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} indeksu m {\displaystyle m} dla parzystego m {\displaystyle m} (równej ⟨ r m / 2 ⟩ {\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{m/2}\rangle } ), a ponadto jeżeli n {\displaystyle n} jest parzysta i m | 2 n , {\displaystyle m|2n,} to

  • jeśli m {\displaystyle m} jest nieparzysta, to istnieje m {\displaystyle m} podgrup grupy D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} indeksu m {\displaystyle m} (sprzężonych z ⟨ r m , s ⟩ {\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{m},\mathrm {s} \rangle } ),
  • jeśli m {\displaystyle m} jest parzysta i nie dzieli n , {\displaystyle n,} to istnieje tylko jedna podgrupa grupy D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} indeksu m {\displaystyle m} (równa ⟨ r m / 2 ⟩ {\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{m/2}\rangle } ),
  • jeśli m {\displaystyle m} jest parzysta i m | n , {\displaystyle m|n,} to istnieje m + 1 {\displaystyle m+1} podgrup grupy D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} indeksu m {\displaystyle m} (i dowolna podgrupa indeksu m {\displaystyle m} jest równa ⟨ r m / 2 ⟩ {\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{m/2}\rangle } bądź sprzężona z dokładnie jedną z grup ⟨ r m , s ⟩ {\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{m},\mathrm {s} \rangle } lub ⟨ r m , r s ⟩ {\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{m},\mathrm {rs} \rangle } ).

Wynika stąd, że jeżeli n {\displaystyle n} jest nieparzysta, to właściwymi podgrupami normalnymi w D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} są ⟨ r d ⟩ {\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{d}\rangle } dla d | n {\displaystyle d|n} − są to grupy parzystego indeksu – a jeżeli n {\displaystyle n} jest parzysta, to właściwymi podgrupami normalnymi w D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} są ⟨ r d ⟩ {\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{d}\rangle } indeksu d , {\displaystyle d,} gdy d | n {\displaystyle d|n} oraz ⟨ r 2 , s ⟩ {\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{2},\mathrm {s} \rangle } i ⟨ r 2 , r s ⟩ {\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{2},\mathrm {rs} \rangle } indeksu 2. {\displaystyle 2.} W szczególności istnieje przynajmniej jedna podgrupa normalna każdego indeksu w D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} poza trzema podgrupami normalnymi ⟨ r ⟩ , ⟨ r 2 , s ⟩ , ⟨ r 2 , r s ⟩ {\displaystyle \langle \mathrm {r} \rangle ,\langle \mathrm {r} ^{2},\mathrm {s} \rangle ,\langle \mathrm {r} ^{2},\mathrm {rs} \rangle } indeksu 2 {\displaystyle 2} dla parzystego n . {\displaystyle n.}

Łączna liczba podgrup w D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} dla n ⩾ 3 {\displaystyle n\geqslant 3} wynosi d ( n ) + σ ( n ) , {\displaystyle d(n)+\sigma (n),} gdzie d ( n ) {\displaystyle d(n)} oznacza liczbę wszystkich dzielników liczby n , {\displaystyle n,} zaś σ ( n ) {\displaystyle \sigma (n)} oznacza ich sumę (zob. liczba dzielników i suma dzielników).

Uwagi

  1. ↑ Od gr. δίεδρον diedron: di-, „dwu-, podwójny” oraz gr. -edron, od ἕδρα edra, „siedzisko, siedlisko, siedziba; siedzenie, miejsce, pozycja; pośladki, kuper; ściana bryły (geom.)”.
    Niepoprawnie: *dihedralna (za ang. diherdal; -hedral od nowołac. hedron; od łac. dihedron, z gr. jw.) – w polszczyźnie temat został zapożyczony bezpośrednio z greki i z tego powodu nie zawiera „h”, por. tetraedr, heksaedr, oktaedr.
  2. ↑ Dokładniej, ponieważ r = r s ⋅ s , {\displaystyle \mathrm {r} =\mathrm {rs} \cdot \mathrm {s} ,} to każdy element grupy diedralnej można przedstawić za pomocą r s {\displaystyle \mathrm {rs} } i s . {\displaystyle \mathrm {s} .}
  3. ↑ Każdy obrót jest sprzężeniem swojej odwrotności: s r j s − 1 = r − j . {\displaystyle \mathrm {sr} ^{j}\mathrm {s} ^{-1}=\mathrm {r} ^{-j}.} Wzory r i r j r − i = r j {\displaystyle \mathrm {r} ^{i}\mathrm {r} ^{j}\mathrm {r} ^{-i}=\mathrm {r} ^{j}} i ( r i s ) r j ( r i s ) − 1 = r − j {\displaystyle (\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} )\mathrm {r} ^{j}(\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} )^{-1}=\mathrm {r} ^{-j}} przy zmiennym i {\displaystyle i} pokazują, że r j , r − j {\displaystyle \mathrm {r} ^{j},\mathrm {r} ^{-j}} są jedynymi elementami sprzężonymi do r j . {\displaystyle \mathrm {r} ^{j}.} Znalezienie klasy sprzężoności s {\displaystyle \mathrm {s} } wymaga obliczeń r i s r − i = r 2 i s {\displaystyle \mathrm {r} ^{i}\mathrm {sr} ^{-i}=\mathrm {r} ^{2i}\mathrm {s} } i ( r i s ) s ( r i s ) − 1 = r 2 i s ; {\displaystyle (\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} )\mathrm {s} (\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} )^{-1}=\mathrm {r} ^{2i}\mathrm {s} ;} dla różnych i {\displaystyle i} element r 2 i s {\displaystyle \mathrm {r} ^{2i}\mathrm {s} } jest odbiciem, w którym w wykładniku r {\displaystyle \mathrm {r} } występuje liczba podzielna przez 2. {\displaystyle 2.} Jeżeli n {\displaystyle n} jest nieparzysta, to każda liczba całkowita modulo n {\displaystyle n} jest wielokrotnością 2 , {\displaystyle 2,} stąd { r 2 i s : i ∈ Z } = { r i s : i ∈ Z } , {\displaystyle \left\{\mathrm {r} ^{2i}\mathrm {s} \colon i\in \mathbb {Z} \right\}=\left\{\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} \colon i\in \mathbb {Z} \right\},} a więc każde odbicie jest sprzężone z s {\displaystyle \mathrm {s} } dla nieparzystego n . {\displaystyle n.} Jeśli jednak n {\displaystyle n} jest parzyste, to tylko połowa odbić jest sprzężonych z s ; {\displaystyle \mathrm {s} ;} druga połowa jest sprzężona z r s , {\displaystyle \mathrm {rs} ,} otóż r i ( r s ) r − i = r 2 i + 1 s {\displaystyle \mathrm {r} ^{i}(\mathrm {rs} )\mathrm {r} ^{-i}=\mathrm {r} ^{2i+1}\mathrm {s} } oraz ( r i s ) ( r s ) ( r i s ) − 1 = r 2 i − 1 s {\displaystyle (\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} )(\mathrm {rs} )(\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} )^{-1}=\mathrm {r} ^{2i-1}\mathrm {s} } dają przy zmiennym i {\displaystyle i} zbiór { r s , r 3 s , … , r n − 1 s } . {\displaystyle \left\{\mathrm {rs} ,\mathrm {r} ^{3}\mathrm {s} ,\dots ,\mathrm {r} ^{n-1}\mathrm {s} \right\}.}
  4. ↑ Wynika to z faktu, iż do centrum należą wyłącznie elementy należące do jednoelementowych klas sprzężoności.
  5. ↑ Korzystając z własności iloczynu kompleksowego: niech H = ⟨ r 2 , s ⟩ ≃ D n / 2 , {\displaystyle H=\langle \mathrm {r} ^{2},\mathrm {s} \rangle \simeq \mathrm {D} _{n/2},} zaś Z = { 1 , r n / 2 } {\displaystyle Z=\left\{1,\mathrm {r} ^{n/2}\right\}} oznacza centrum D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} będące w niej podgrupą normalną; wynika stąd, że H Z {\displaystyle HZ} jest podgrupą D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} i z definicji elementy H {\displaystyle H} komutują z elementami Z . {\displaystyle Z.} Przekształcenie f : H × Z → D n {\displaystyle f\colon H\times Z\to \mathrm {D} _{n}} dane wzorem f ( h , z ) = h z {\displaystyle f(h,z)=hz} jest homomorfizmem, ze względu na to, że Z {\displaystyle Z} jest centrum D n ; {\displaystyle \mathrm {D} _{n};} jego jądrem jest trywialne przecięcie H ∩ Z , {\displaystyle H\cap Z,} stąd r n / 2 ∉ H . {\displaystyle \mathrm {r} ^{n/2}\notin H.} Istotnie, jeśli r n / 2 ∈ H , {\displaystyle \mathrm {r} ^{n/2}\in H,} to r n / 2 = r 2 k {\displaystyle \mathrm {r} ^{n/2}=\mathrm {r} ^{2k}} bądź r n / 2 = r 2 k s {\displaystyle \mathrm {r} ^{n/2}=\mathrm {r} ^{2k}\mathrm {s} } dla pewnego k , {\displaystyle k,} przy czym oba przypadki są niemożliwe: pierwszy pociąga n / 2 ≡ 2 k mod n , {\displaystyle n/2\equiv 2k{\bmod {n}},} co daje sprzeczność ze względu na parzystość 2 k {\displaystyle 2k} oraz n {\displaystyle n} i nieparzystość n / 2 ; {\displaystyle n/2;} drugi jest niedorzecznością w postaci s {\displaystyle \mathrm {s} } będącego potęgą r . {\displaystyle \mathrm {r} .} Ponieważ f {\displaystyle f} jest różnowartościowe i rząd (moc zbioru) H × Z {\displaystyle H\times Z} wynosi 2 n {\displaystyle 2n} równy rzędowi (mocy) D n , {\displaystyle \mathrm {D} _{n},} to f {\displaystyle f} jest izomorfizmem.
  6. ↑ Jeśli n {\displaystyle n} jest podzielne przez 4 , {\displaystyle 4,} to przedstawiony izomorfizm nie istnieje: jeśli n {\displaystyle n} i n / 2 {\displaystyle n/2} są parzyste, to centrum D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} jest grupą cykliczną rzędu 2 , {\displaystyle 2,} zatem centrum D n / 2 {\displaystyle \mathrm {D} _{n/2}} jest iloczynem prostym dwóch grup cyklicznych rzędu 2; ze względu na nieizomorficzność jąder D n ≄ D n / 2 × Z 2 . {\displaystyle \mathrm {D} _{n}\not \simeq \mathrm {D} _{n/2}\times \mathbb {Z} _{2}.}
  7. ↑ Komutator [ r , s ] = r s r − 1 s − 1 = r r s s − 1 = r 2 {\displaystyle [\mathrm {r} ,\mathrm {s} ]=\mathrm {rsr} ^{-1}\mathrm {s} ^{-1}=\mathrm {rrss} ^{-1}=\mathrm {r} ^{2}} tej postaci oznacza, że ⟨ r 2 ⟩ {\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{2}\rangle } zawiera się w komuntancie. Aby uzyskać równość można pokazać bezpośrednio, że komutator zawiera się w ⟨ r 2 ⟩ ; {\displaystyle \langle \mathrm {r} ^{2}\rangle ;} innym sposobem jest znalezienie ilorazu D n / N {\displaystyle \mathrm {D} _{n}/N} będącego grupą abelową – wówczas wszystkie komutatory z D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} są trywialne w D n / N , {\displaystyle \mathrm {D} _{n}/N,} a więc wszystkie komutatory z D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} leżą w N . {\displaystyle N.} Grupa N = ⟨ r 2 ⟩ {\displaystyle N=\langle \mathrm {r} ^{2}\rangle } jest normalna (sprzężenia potęg r 2 {\displaystyle \mathrm {r} ^{2}} są potęgami tego elementu lub jego odwrotności, które należą do N {\displaystyle N} ), abelowa (ma rząd 4 i reprezentację { e ¯ , r ¯ , s ¯ , r s ¯ } {\displaystyle \left\{{\overline {\mathrm {e} }},{\overline {r}},{\overline {s}},{\overline {rs}}\right\}} izomorficzną z grupą czwórkową, gdzie r s ≡ s r mod N , {\displaystyle \mathrm {r} s\equiv \mathrm {s} r{\bmod {N}},} ponieważ r ≡ r − 1 mod N , {\displaystyle \mathrm {r} \equiv \mathrm {r} ^{-1}{\bmod {N}},} gdyż r 2 ∈ N {\displaystyle \mathrm {r} ^{2}\in N} ), dzięki czemu D n / N {\displaystyle \mathrm {D} _{n}/N} jest abelowa.
  8. ↑ Jeśli n {\displaystyle n} jest nieparzysta, to ⟨ r ⟩ = ⟨ r 2 ⟩ . {\displaystyle \langle \mathrm {r} \rangle =\langle \mathrm {r} ^{2}\rangle .}
  9. ↑ Warunki a n = e {\displaystyle a^{n}=e} oraz b 2 = e {\displaystyle b^{2}=e} nie oznaczają, że elementy a , b {\displaystyle a,b} mają rzędy odpowiednio n , 2 , {\displaystyle n,2,} lecz że są dzielnikami tych liczb.