Bilineær form

Innen matematikk sies en funksjon sies å være på bilineær form dersom den er definert fra det kartesiske produktet av to vektorrom til skalarkroppen vektorrommet er definert over, og er lineær i hvert argument. Bilineære former er en generalisering av lineære funksjoner, og et spesialtilfelle av funksjoner på multilineær form.

Merk at man ikke kompleks-konjugerer skalarene; dette gjøres derimot for funksjoner på sesquilineær form, som ofte er mer interessante dersom man jobber med komplekse vektorrom.

Definisjon

En bilineær form er en funksjon

${\displaystyle f:V\times V:\mathbb {K} }$

der V er et vektorrom definert over ${\displaystyle \mathbb {K} }$, som vanligvis er de relle tallene ${\displaystyle \mathbb {R} }$ eller de komplekse tallene ${\displaystyle \mathbb {C} }$, som oppfyller at

1. ${\displaystyle f(ax+by,z)=af(x,y)+bf(y,z)}$, og
2. ${\displaystyle f(x,ay+bz)=af(x,y)+bf(y,z)}$

for alle vektorer ${\displaystyle x,y,z\in V}$ og alle skalarer ${\displaystyle a,b\in \mathbb {K} }$. Et vektorrom V definert med en bilineær form f kalles for et bilineært rom.^[1]

Spesialiseringer

En bilineær form ${\displaystyle f}$ sies å være

1. refleksiv hvis ${\displaystyle f(x,y)=0}$ dersom ${\displaystyle f(y,x)=0}$
2. symmetrisk hvis ${\displaystyle f(x,y)=f(y,x)}$
3. skjevsymmetrisk hvis ${\displaystyle f(x,y)=-f(x,y)}$
4. alternerende hvis ${\displaystyle f(x,x)=0}$

for alle ${\displaystyle x,y\in V}$.^[1]

Referanser

Litteratur

• Vivek Sahai og Vikas Bist (2002). Linear Algebra. CRC Press. ISBN 9780849324260. 

Eksterne lenker

• (en) Todd Rowland, Bilinear Form i MathWorld.
• (en) Todd Rowland, Symmetric Bilinear Form i MathWorld.