Uniforme continuïteit

In de wiskunde heet een functie uniform continu op een interval als de functie continu is, dus als kleine veranderingen van het argument ${\displaystyle x}$ eveneens kleine veranderingen van het beeld ${\displaystyle f(x)}$ tot gevolg hebben, en er een begrenzing van de mate van die veranderingen is die niet afhangt van de waarde van ${\displaystyle x}$. Uniforme continuïteit is een globale eigenschap van een functie op een interval, in tegenstelling tot gewone continuïteit die de functie lokaal beschrijft en dus wel afhankelijk mag zijn van ${\displaystyle x}$.

Definitie

Een functie ${\displaystyle f\colon V\to W}$ van de metrische ruimte ${\displaystyle V}$ met metriek ${\displaystyle d}$ in de metrische ruimte ${\displaystyle W}$ met metriek ${\displaystyle d'}$ heet uniform continu als er voor elk reëel getal ${\displaystyle \varepsilon >0}$ een getal ${\displaystyle \delta >0}$ bestaat zodanig dat voor alle ${\displaystyle x,y\in V}$ met ${\displaystyle d(x,y)<\delta }$ geldt dat ${\displaystyle d'(f(x),f(y))<\varepsilon }$.

Eigenschappen

• Elke uniforme continue functie is continu, maar niet andersom. Zo is ${\displaystyle f\colon (0,1)\to \mathbb {R} ;x\mapsto 1/x}$ wel continu maar niet uniform continu.
• Elke continue functie ${\displaystyle f}$ over een gesloten en begrensd gebied (compactum) ${\displaystyle G}$ is zelf begrensd en uniform continu over ${\displaystyle G}$ (Stelling van Heine-Cantor).
• Elke absoluut continue functie is ook uniform continu.
• Elke lipschitz-continue functie is ook uniform continu.
• Een uniform continue functie beeldt equivalente rijen af op equivalente rijen. Formeel betekent dit dat als ${\displaystyle f\colon V\to W}$ een uniform continue functie is en ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ en ${\displaystyle (y_{n})_{n}}$ twee equivalente rijen, ${\displaystyle (f(x_{n}))_{n}}$ en ${\displaystyle (fy_{n}))_{n}}$ ook equivalent zijn. Het tegendeel wordt vaak gebruikt om aan te tonen dat een functie niet uniform continu is. Let wel op, als een functie ${\displaystyle f}$ twee equivalente rijen afbeeldt op twee equivalente rijen, geeft dit geen uitsluitsel over het uniform continue karakter van ${\displaystyle f}$
• Een uniform continue functie beeldt een cauchyrij af op een cauchyrij.
• De samenstelling van uniform continue functies is opnieuw uniform continu.