規格化

この項目では、量子力学での波動関数の規格化について説明しています。工業・産業での規格化については「標準化」を、ベクトル、数量、データなどの規格化については「正規化」をご覧ください。

規格化 (きかくか、英: normalization) とは、ある空間で粒子が一つ存在し、それを記述する波動関数をΨとすると、Ψのノルムに関して、

${\displaystyle \int |\Psi |^{2}d\mathbf {r} =1}$

とすることである。正規化とも言う。積分は当該粒子の存在する全空間に対して行われる。積分の範囲は、その粒子のなす系に課された境界条件によって変わる。一つの例として周期的境界条件に基づく結晶格子では、以下のようにその単位胞内で規格化のための積分が行われる。

${\displaystyle \int _{V_{cell}}|\Psi |^{2}d\mathbf {r} =1}$

ここで、V_cell は単位胞の体積である。

直交座標系を考えて、r=(x,y,z) とし、更に時間tも考えると、一粒子の波動関数は ${\displaystyle \Psi =\Psi (x,y,z,t)=\Psi (\mathbf {r} ,t)}$ で表され、これは、

${\displaystyle \int |\Psi |^{2}d\mathbf {r} =\int |\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d\mathbf {r} =1}$

と規格化される。これは、ある時刻ｔで粒子が位置 r での微小な領域 dr(=dxdydz) に存在する確率が、${\displaystyle |\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d\mathbf {r} }$ であることを示している。それを全空間（粒子の存在しうる全領域）で積分すれば、確率の総和は1となる必要がある。この要請を満たすために規格化を行う。実際の数値計算等で求められる波動関数は、そのままでは上記の積分が1となる保証はないので、積分値が1となるように規格化される。

デルタ関数による規格化

実際の量子論では、自乗積分が∞に発散するような関数を扱うことも多い。

${\displaystyle \int |\psi _{k}(\mathbf {r} ,t)|^{2}d\mathbf {r} =\infty }$

その場合は、次のようなデルタ関数による規格化を許している。

${\displaystyle \int \psi _{k}^{*}(\mathbf {r} ,t)\psi _{k'}(\mathbf {r} ,t)d\mathbf {r} =\delta (k-k')}$

この場合における${\displaystyle |\psi _{k}(\mathbf {r} ,t)|^{2}}$は、ある時刻ｔで位置${\displaystyle \mathbf {r} }$の測定をした時の確率密度${\displaystyle p(\mathbf {r} ,t)}$ではなく、次のように相対確率を表す^[1]。

${\displaystyle p(\mathbf {r} ,t)\neq |\psi _{k}(\mathbf {r} ,t)|^{2}}$

${\displaystyle p(\mathbf {r} ,t)\varpropto |\psi _{k}(\mathbf {r} ,t)|^{2}}$

参考文献

1. ^ 清水明『量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』（新版）サイエンス社〈新物理学ライブラリ〉、2004年4月。ISBN 4-7819-1062-9。