ブニャコフスキー予想

ブニャコフスキー予想（-よそう）は、ウクライナ出身の数学者ヴィクトール・ブニャコフスキーが1857年に示した予想である。

整数係数を持つ2次以上の既約多項式は、自然数の引数に対して1より大きな最大公約数を持つ無限集合を生成するか、もしくは無限個の素数を生成する、というものである。

例として、多項式 f(x) = x2 + 1 を考える。この多項式からは以下のように素数が生成される。 

 x      x2 + 1
--------------
 1           2
 2           5
 4          17
 6          37
10         101
14         197
16         257
20         401
24         577
26         677
36        1297

ハーディ＝リトルウッドの第5予想（ブニャコフスキー予想の特殊な場合）では、特定の2次多項式が x > 1 なる整数に対して無限個の素数を生成することを予想している。現在まで、ブニャコフスキーの予想は証明されていないが、反例も見つかっていない。

ブニャコフスキー予想は、ディリクレの算術級数定理の拡張と見なすこともできる。ディリクレの定理は、既約な1次多項式が必ず無限個の素数を生成するというものである。

参考文献

  • Bouniakowsky conjecture on Mathworld
  • Rupert, Wolfgang M. (5 Aug 1998). “Reducibility of polynomials f(x, y) modulo p”. Arxiv.org. http://arxiv.org/pdf/math/9808021. 
  • Bouniakowsky, V. (1857). “Nouveaux théorèmes relatifs à la distinction des nombres premiers et à la décomposition des entiers en facteurs”. Mém. Acad. Sc. St. Pétersbourg 6: 305-329.