バリニオンの定理

バリニオンの定理（Varignon's theorem）とは、平面上のある一点に対して働く2つ以上の力のモーメントの総和と、その合力の力のモーメントが等しいとする力学の定理^[1]。

フランスの数学者ピエール・ヴァリニョンが著書『Projet d'une nouvelle mechanique』で提唱した（Varignonは、日本の学界ではヴァリニョンではなくバリニオンと呼ばれることが多い）。

証明

点 ${\displaystyle \mathbf {O} }$ に働く力 ${\displaystyle \mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},...,\mathbf {f} _{N}}$ の総和（合力）を ${\displaystyle \mathbf {F} }$ とする。つまり、

${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {f} _{i}}$

である。また、点 ${\displaystyle \mathbf {O} _{1}}$ まわりの、点 ${\displaystyle \mathbf {O} }$ に働く力 ${\displaystyle \mathbf {f} _{i}}$ によるの力のモーメント（トルク） ${\displaystyle \mathbf {\mathrm {T} } _{O_{1}}^{\mathbf {f} _{i}}\ }$ は、

${\displaystyle \mathbf {\mathrm {T} } _{O_{1}}^{\mathbf {f} _{i}}=(\mathbf {O} -\mathbf {O} _{1})\times \mathbf {f} _{i}}$

と表せる。このとき、

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\mathbf {\mathrm {T} } _{O_{1}}^{\mathbf {f} _{i}}=(\mathbf {O} -\mathbf {O} _{1})\times \left(\sum _{i=1}^{N}\mathbf {f} _{i}\right)=(\mathbf {O} -\mathbf {O} _{1})\times \mathbf {F} =\mathbf {\mathrm {T} } _{O_{1}}^{\mathbf {F} }}$

が成立する。

脚注

参考文献

• Projet d'une nouvelle mechanique, Pierre Varignon, 1687
• 『詳解 工業力学 第2版』入江敏博、平成28年、オーム社