Operatore di Fredholm

In matematica, in particolare all'interno della teoria di Fredholm, un operatore di Fredholm è un operatore lineare limitato tra spazi di Banach il cui nucleo e conucleo hanno dimensione finita, e la sua immagine è chiusa, sebbene quest'ultima richiesta sia ridondante.^[1]

Un operatore di Fredholm è un operatore lineare limitato tra spazi di Banach di cui nucleo e conucleo hanno dimensione finita. In modo equivalente, un operatore ${\displaystyle T:X\to Y}$ è di Fredholm se esiste un operatore lineare limitato ${\displaystyle S:Y\to X}$ tale per cui gli operatori:

${\displaystyle \mathrm {Id} _{X}-ST\qquad \mathrm {Id} _{Y}-TS}$

sono compatti rispettivamente su ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$.

L'indice ${\displaystyle \mathrm {ind} \,T}$ di un operatore di Fredholm ${\displaystyle T}$ è definito come:

${\displaystyle \mathrm {ind} \,T:=\dim \ker T-\mathrm {dim} \,\mathrm {coker} \,T}$

Se l'indice è ${\displaystyle \pm \infty }$ l'operatore è detto essere semi-Fredholm: si tratta di un operatore caratterizzato dal possedere nucleo oppure conucleo aventi dimensione finita e immagine chiusa.^[2]

L'insieme degli operatori di Fredholm da ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$ forma un insieme aperto nello spazio di Banach ${\displaystyle L(X,Y)}$ degli operatori lineari limitati (e dunque continui). Più precisamente, se ${\displaystyle T_{0}:X\to Y}$ è di Fredholm allora esiste ${\displaystyle \epsilon >0}$ tale che ogni ${\displaystyle T\in L(X,Y)}$ che soddisfa ${\displaystyle \|T-T_{0}\|<\epsilon }$ è di Fredholm e ha lo stesso indice di ${\displaystyle T_{0}}$.

Se ${\displaystyle T}$ è un operatore di Fredholm da ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$ e ${\displaystyle U}$ è di Fredholm da ${\displaystyle Y}$ a ${\displaystyle Z}$, allora la composizione ${\displaystyle U\circ T}$ è di Fredholm da ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Z}$ e si ha:

${\displaystyle \mathrm {ind} (U\circ T)=\mathrm {ind} (U)+\mathrm {ind} (T)}$

Se ${\displaystyle T:X\to Y}$ è un operatore di Fredholm, il suo aggiunto ${\displaystyle T':Y'\to X'}$ è di Fredholm e ${\displaystyle \mathrm {ind} \,T=-\mathrm {ind} (T')}$, e ciò vale anche quando ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono spazi di Hilbert (in cui la definizione di aggiunto si diversifica).

Se ${\displaystyle T}$ è un operatore di Fredholm e ${\displaystyle K}$ è un operatore compatto, allora ${\displaystyle T*K}$ è ancora di Fredholm e l'indice non cambia.

• (EN) D.E. Edmunds and W.D. Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
• (EN) A. G. Ramm, "A Simple Proof of the Fredholm Alternative and a Characterization of the Fredholm Operators", American Mathematical Monthly, 108 (2001) p. 855 (NB: In this paper the word "Fredholm operator" refers to "Fredholm operator of index 0").
• (EN) Bruce K. Driver, "Compact and Fredholm Operators and the Spectral Theorem", Analysis Tools with Applications, Chapter 35, pp. 579–600.
• (EN) Robert C. McOwen, "Fredholm theory of partial differential equations on complete Riemannian manifolds", Pacific J. Math. 87, no. 1 (1980), 169–185.

• Conucleo
• Nucleo (matematica)
• Operatore limitato
• Operatore lineare continuo
• Operatore compatto
• Spazio di Banach
• Spettro essenziale
• Teoremi di Fredholm
• Teoria di Fredholm

• (EN) Tomasz Mrowka, A Brief Introduction to Linear Analysis: Fredholm Operators, Geometry of Manifolds, Fall 2004 (Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare)
• (EN) Fredholm operator, in PlanetMath.
• (EN) B.V. Khvedelidze, Fredholm operator, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) C. Foias, Semi-Fredholm operator, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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