Ptolemaiosz-tétel

A matematikában, ezen belül az euklideszi geometriában Ptolemaiosz tétele kapcsolatot fejez ki a húrnégyszög oldalai és átlói között. A tétel a híres ókori görög csillagászról és matematikusról, Klaudiosz Ptolemaioszról kapta nevét.

Ha a húrnégyszög 4 csúcsa: A, B, C és D (ebben a sorrendben a szokásos körüljárással jelölve), akkor a tétel állítása a következő:

${\displaystyle {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}={\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {AD}}}$

ahol a felülvonással jelölt szakaszok a két pont közti távolságokat jelentik.

A tételt szöveggel a következőképpen fogalmazhatjuk meg:

Egy húrnégyszögben a szemközti oldalak szorzatainak összege megegyezik az átlók szorzatával.

Továbbá a tétel megfordítása is igaz, vagyis:

Ha egy négyszögben a szemközti oldalak szorzatainak összege megegyezik az átlók szorzatával, akkor a négyszög húrnégyszög.

Példák

• Bármilyen négyzet beírható egy körbe, úgy, hogy a kör középpontja megegyezik a négyzet átlóinak metszéspontjával. Ha a négyzet oldala ${\displaystyle a}$, akkor átlóinak hossza ${\displaystyle \scriptstyle {{\sqrt {2}}a}}$ (a Pitagorasz-tételből) és ezt a relációt kapjuk a Ptolemaiosz-tételből is.
• Téglalap esetén a tétel a Pitagorasz-tételbe megy át. Ha az oldalak a és b, akkor az átlók szorzata c² = a² + b² = aa + bb.
• Sokkal érdekesebb, ha egy a oldalú szabályos ötszög tetszőleges 4 csúcsára alkalmazzuk a Ptolemaiosz-tételt. Ebben az esetben a húrnégyszög átlói az ötszög b átlóival egyeznek meg, a négy oldal közül három pedig az ötszög a oldalával, a negyedik pedig az ötszög egyik b hosszúságú átlójával egyezik meg. Így Ptolemaiosz tétele segítségével a b² = a² + ab egyenlőséget olvashatjuk le, ami az aranymetszéshez vezet.

${\displaystyle \varphi ={b \over a}={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}.}$

• Most az AD átmérő felezze a DC oldalt úgy, hogy DE és EC legyen a beírt szabályos tízszög két c hosszú oldala. Ekkor használhatjuk a Ptolemaiosz-tételt az ADEC húrnégyszögre, melynek egyik átlója a d átmérő.

${\displaystyle ad=2bc\;}$

${\displaystyle \Rightarrow ad=2\varphi ac}$, ahol ${\displaystyle \scriptstyle {\varphi }}$ az aranymetszés aránya

${\displaystyle \Rightarrow c={\frac {d}{2\varphi }}}$

ahol a beírt tízszög oldalait felírhatjuk az átmérővel kifejezve. A Pitagorasz-tétel szerint az AED háromszög b oldalát megkaphatjuk az átmérőből, ezután pedig az ötszög a oldalát a következő képlet adja:

${\displaystyle a={\frac {b}{\varphi }}=b(\varphi -1)\;}$.

Bizonyítások

Elemi geometriai bizonyítás

1. Legyen ABCD egy húrnégyszög.
2. A BC ívhez tartozó két szög ∠BAC = ∠BDC, ugyanígy az AB ívhez tartozó két szög ∠ADB = ∠ACB.
3. Legyen K az AC szakaszon úgy, hogy ∠ABK = ∠CBD.
4. Megjegyezzük, hogy ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, ∠CBK = ∠ABD.
5. Mivel a szögeik megegyeznek, ezért △ABK és △DBC hasonló háromszögek, ugyanígy △ABD ∼ △KBC.
6. Ezért AK/AB = CD/BD, és CK/BC = DA/BD;
   1. Tehát AK·BD = AB·CD, és CK·BD = BC·DA;
   2. Összeadva a két egyenletet, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
   3. De azt tudjuk, hogy AK+CK = AC, vagyis AC·BD = AB·CD + BC·DA; Q.E.D.

Ez a bizonyítás, csak egyszerű húrnégyszögekre igaz, ha a négyszög konkáv, a K pont eshet az AC egyenes szakaszon kívüli részére is. Ekkor AK-CK=±AC adja a helyes eredményt.

Trigonometriai bizonyítás

Elég ha a tételt egy egység sugarú körre bizonyítjuk. Tekintsük a négyszög P₁, …, P₄ csúcsait derékszögű koordináta-rendszerben. Írjuk fel a csúcsok koordinátáit az origóból a csúcsba mutató helyvektorok α₁, … , α₄ irányszögei segítségével:

${\displaystyle P_{i}=(\,\cos \alpha _{i},\sin \alpha _{i}\,)}$, ahol ${\displaystyle \alpha _{i}\in \,[\,0;2\pi )\,}$ és ${\displaystyle i=1,...,4\,}$

A pontokat sorszámozzuk át úgy (ha eredetileg nem úgy lettek volna számozva), hogy a P₁, …, P₄ pontsorozat az óramutatóval ellentétes körüljárású legyen. Ekkor az irányszögek az index növelésével nőnek:

${\displaystyle \,\alpha _{1}<\alpha _{2}<\alpha _{3}<\alpha _{4}\,}$.

Fejezzük ki két pont távolságát szögekkel (ez lényegében a húr hosszára vonatkozó ismert képlet). Ha

${\displaystyle P=(\,\cos \alpha ,\sin \alpha \,)}$ és ${\displaystyle Q=(\,\cos \beta ,\sin \beta \,)}$

két pont, akkor ezek távolsága:

${\displaystyle {\overline {PQ}}=2\sin \left({\frac {|\alpha -\beta |}{2}}\right)}$

Innen a négyszög egymást követő P₁P₂, … P_iP_j,… , P₄P₁ szakaszainak hossza:

${\displaystyle {\overline {P_{i}P_{j}}}=2\sin \left({\alpha _{j} \over 2}-{\alpha _{i} \over 2}\right).}$

A Ptolemaiosz-tétel

${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{3}}}\cdot {\overline {P_{2}P_{4}}}={\overline {P_{1}P_{2}}}\cdot {\overline {P_{3}P_{4}}}+{\overline {P_{1}P_{4}}}\cdot {\overline {P_{2}P_{3}}}}$

aztán a négyzetes relációkból következnek

${\displaystyle \sin(\theta _{3}-\theta _{1})\sin(\theta _{4}-\theta _{2})=\sin(\theta _{2}-\theta _{1})\sin(\theta _{4}-\theta _{3})+\sin(\theta _{4}-\theta _{1})\sin(\theta _{3}-\theta _{2})\,}$

Eleget téve a szinuszfüggvény tulajdonságainak, és használva a trigonometrikus azonosságokat

${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={1 \over 2}\left(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )\right)}$

azonosságot kapjuk.

Összefoglalva:

Bevezetve az eltérés szögeket: ${\displaystyle \,\delta _{i}=\theta _{i+1}-\theta _{i}\,}$ ahol ${\displaystyle \,i=1,\ldots ,3\,}$ akkor a relációból

${\displaystyle \sin(\theta _{4}-\theta _{2})=\sin(\theta _{2}-\theta _{1})\sin(\theta _{4}-\theta _{3})+\sin(\theta _{4}-\theta _{1})\sin(\theta _{3}-\theta _{2})\,}$

a következő egyenletet kapjuk

${\displaystyle \sin(\delta _{1}+\delta _{2})\sin(\delta _{2}+\delta _{3})=\sin(\delta _{1})\sin(\delta _{3})+\sin(\delta _{1}+\delta _{2}+\delta _{3})\sin(\delta _{2}).\,}$

vagyis:

${\displaystyle \sin(\delta _{1}+\delta _{2}+\delta _{3})={{\sin(\delta _{1}+\delta _{2})\sin(\delta _{2}+\delta _{3})-\sin(\delta _{1})\sin(\delta _{3})} \over {\sin \delta _{2}}}.}$

Algebrai bizonyítás

Ez egy alternatív bizonyítás, mely a komplex számokat és az analitikus geometriát használja. A négyszög pontjainak adjunk komplex koordinátákat. A tételt ismét egység sugarú körre szeretnénk bebizonyítani, éspedig a komplex egységkörre:

${\displaystyle S^{1}=\{z\in \mathbb {C} ,\;z{\overline {z}}=1\}}$

A Ptolemaiosz-tétel állítása:

${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{3}}}\cdot {\overline {P_{2}P_{4}}}={\overline {P_{1}P_{2}}}\cdot {\overline {P_{3}P_{4}}}+{\overline {P_{1}P_{4}}}\cdot {\overline {P_{2}P_{3}}}}$

átalakítva:

${\displaystyle {{{\overline {P_{1}P_{3}}}\cdot {\overline {P_{2}P_{4}}}} \over {{\overline {P_{1}P_{4}}}\cdot {\overline {P_{2}P_{3}}}}}=1+{{{\overline {P_{1}P_{2}}}\cdot {\overline {P_{3}P_{4}}}} \over {{\overline {P_{1}P_{4}}}\cdot {\overline {P_{2}P_{3}}}}}\ .}$

Ez a kijelentés „álruhás” alakja következő egyszerűbbnek:

${\displaystyle \,{\mbox{cr}}(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})=1-{\mbox{cr}}(z_{1},z_{3},z_{2},z_{4})}$

ahol cr a köri kettősviszonyt jelöli:

${\displaystyle \,{\mbox{cr}}(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})={{(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})} \over {(z_{1}-z_{4})(z_{2}-z_{3})}}}$

bármely négy páronként különböző z₁, …, z₄ komplex számra.

Hogy explicitté tegyük ezt a kapcsolatot, alakítsuk át a négy szakaszt négy komplex szám (a z₁, …, z₄) normájává. A pontok sorszáma növekedjen az óramutató járásával ellentétes irányban az egységkörön. Két komplex szám ${\displaystyle x,y}$ négyzetes távolsága az egységkörön egyenlő

${\displaystyle |x-y|^{2}=(x-y)\cdot ({\overline {x}}-{\overline {y}})=(x-y)\cdot \left({1 \over x}-{1 \over y}\right)=-{(x-y)^{2} \over {xy}}\ .}$

Ennek következtében bármely páronként különböző elemeket tartalmazó (z₁, …, z₄) komplex számnégyesre az egységkörön, a köri kettősviszony hosszának négyzete:

${\displaystyle {{|z_{1}-z_{3}|\cdot |z_{2}-z_{4}|} \over {|z_{1}-z_{4}|\cdot |z_{2}-z_{3}|}}}$

Egy átlagos (komplex szám) köri kettősviszonynak

${\displaystyle \,{{(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})} \over {(z_{1}-z_{4})(z_{2}-z_{3})}}}$.

Négyzetgyököt vonva az első egyenletből

${\displaystyle {{|z_{1}-z_{3}|\cdot |z_{2}-z_{4}|} \over {|z_{1}-z_{4}|\cdot |z_{2}-z_{3}|}}=\epsilon {{(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})} \over {(z_{1}-z_{4})(z_{2}-z_{3})}}=\epsilon \,{\mbox{cr}}(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})}$

Az együtthatók helyzete függ a négy pont relatív elhelyezkedésétől és a köri kettősviszony állandóit felhasználva leírható komplex transzformációkkal:

${\displaystyle z\mapsto {{az+b} \over {cz+d}}}$

Ha feltételezzük hogy a négy pont elhelyezkedése az óramutató járásával ellentétes, akkor

${\displaystyle \,{\mbox{cr}}(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})>1.}$

Ezt a tulajdonságot a

${\displaystyle r:\;z\mapsto i{{(1+z)} \over {(1-z)}}}$

projektív transzformációsegítségével bizonyítjuk (mely a Cayley-transzformáció inverze). Ez utóbbi (folytonosan) leképezi a

${\displaystyle S^{1}\setminus \{z=1\}}$

pontozott egység kört a valós tengelyre (a felső (alsó) ívek az egységkörön a negatív (pozitív) féltengelyre kerülnek).

Polárkoordinátákkal ez az

${\displaystyle \,r(e^{i\alpha })=-\mathrm {ctg} (\alpha /2)}$

alakban írható, ami egy monoton függvényt definiál, ahol

${\displaystyle \alpha \in (0;2\pi )}$

Ennek következtében a köri kettősviszony leolvasható a pontok képének közös sorrendjéből a valós tengelyen. Miután megszorozzuk a ${\displaystyle z_{i}}$-t a norma 1 egy megfelelő skalárjával ${\displaystyle z'}$, továbbá feltételezzük, hogy ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle \neq }$ 1 minden ${\displaystyle i}$-re. Ha a négy komplex szám az egységkörön, az óramutató járásával ellentétes irányban van, a négy pont képe

${\displaystyle \,(y_{1},\ldots ,y_{4}):=(\,r(z_{1}),r(z_{2}),r(z_{3}),r(z_{4})\,)}$ eleget tesz a

${\displaystyle \,y_{1}<y_{2}<y_{3}<y_{4}}$

relációnak. Az

${\displaystyle {\mbox{cr}}(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})-1={{(y_{1}-y_{3})(y_{2}-y_{4})} \over {(y_{1}-y_{4})(y_{2}-y_{3})}}-1={{(y_{1}-y_{2})(y_{3}-y_{4})} \over {(y_{1}-y_{4})(y_{2}-y_{3})}}>0}$

összefüggés azt mutatja, hogy

${\displaystyle \,{\mbox{cr}}(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})={\mbox{cr}}(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})>1}$

Másik oldalról viszont, ha a középső párt, ${\displaystyle (z_{2},z_{3})}$-t megcseréljük a ciklikus sorrend megváltozása miatt a négy pont köri kettősviszonya negatív lesz, ugyanis

${\displaystyle \,{\mbox{cr}}(z_{1},z_{3},z_{2},z_{4})=1-{\mbox{cr}}(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})<0}$

és asználva a köri kettősviszony összefüggést

${\displaystyle {{(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})} \over {(z_{1}-z_{4})(z_{2}-z_{3})}}=1-{{(z_{1}-z_{2})(z_{3}-z_{4})} \over {(z_{1}-z_{4})(z_{3}-z_{2})}}.\,}$

Összefoglalva. Négy páronként különböző, az egységkörön az óramutató járásával ellentétes körüljárási iránnyal rendelkező elemű (z₁, …, z₄) pontnégyes esetén:

${\displaystyle {{|z_{1}-z_{3}|\cdot |z_{2}-z_{4}|} \over {|z_{1}-z_{4}|\cdot |z_{2}-z_{3}|}}=+{{(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})} \over {(z_{1}-z_{4})(z_{2}-z_{3})}}}$

és

${\displaystyle {{|z_{1}-z_{2}|\cdot |z_{3}-z_{4}|} \over {|z_{1}-z_{4}|\cdot |z_{3}-z_{2}|}}=-{{(z_{1}-z_{2})(z_{3}-z_{4})} \over {(z_{1}-z_{4})(z_{3}-z_{2})}}.\,}$

Ptolemaiosz tételét átalakítva

${\displaystyle {{{\overline {P_{1}P_{3}}}\cdot {\overline {P_{2}P_{4}}}} \over {{\overline {P_{1}P_{4}}}\cdot {\overline {P_{2}P_{3}}}}}=1+{{{\overline {P_{1}P_{2}}}\cdot {\overline {P_{3}P_{4}}}} \over {{\overline {P_{1}P_{4}}}\cdot {\overline {P_{2}P_{3}}}}}}$

a köri kettősviszony

${\displaystyle {{(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})} \over {(z_{1}-z_{4})(z_{2}-z_{3})}}=1-{{(z_{1}-z_{2})(z_{3}-z_{4})} \over {(z_{1}-z_{4})(z_{3}-z_{2})}}}$

Források

• MathPages - On Ptolemy's Theorem
• Ptolemy's Table of Chords
• Ptolemy's Theorem a www.cut-the-knot.org-on
• Compound angle proof a www.cut-the-knot.org-on
• Ptolemy's Theorem Archiválva 2011. július 24-i dátummal a Wayback Machine-ben a PlanetMath-en
• Ptolemy Inequality a MathWorldön
• De Revolutionibus Orbium Coelestium at Harvard.
• Deep Secrets: The Great Pyramid, the Golden Ratio and the Royal Cubit
• Jay Warendorff, Ptolemy's Theorem in The Wolfram Demonstrations Project
• Euklidész, Elemek (magyarul)