Basu-tétel

A statisztikában a Basu-tétel azt állítja, hogy bármely komplett elégséges statisztika független bármely kiegészítő statisztikától.

Egy statisztika kiegészítő statisztika, ha az eloszlása nem függ θ-tól.

Ezt a tételt Debabrata Desu (indiai statisztikus) 1955-ben állította fel.[1]

A tételt gyakran alkalmazzák két statisztika függetlenségének bizonyítására.

Állítás

Legyen Pθ egy eloszlás család az (X, Σ), mérhető térben. Akkor, ha T komplett elégséges statisztika θ-ra, és A kiegészítő statisztika θ-ra, akkor T független A-tól.

Bizonyítás

Legyen PθT és PθA T és A marginális eloszlásai.

P θ A ( B ) = P θ ( A − 1 B ) = ∫ T ( X ) P θ ( A − 1 B | T = t )   P θ T ( d t ) {\displaystyle P_{\theta }^{A}(B)=P_{\theta }(A^{-1}B)=\int _{T(X)}P_{\theta }(A^{-1}B|T=t)\ P_{\theta }^{T}(dt)\,}

PθT nem függ θ-tól, mert A kiegészítő. Hasonlóképpen Pθ(•|T = t) nem függ θ-tól, mert T elégséges. Ezért: ∫ T ( X ) [ P ( A − 1 B | T = t ) − P A ( B ) ]   P θ T ( d t ) = 0 {\displaystyle \int _{T(X)}{\big [}P(A^{-1}B|T=t)-P^{A}(B){\big ]}\ P_{\theta }^{T}(dt)=0\,} Figyeljük meg az integranduszt ( függvény az integrálon belül), mely t függvénye, és nem θ-é. Ezért, mivel T komplett:

P ( A − 1 B | T = t ) = P A ( B ) minden t-re {\displaystyle P(A^{-1}B|T=t)=P^{A}(B)\quad {\text{minden t-re}}\,}

Így bizonyított, hogy A független T-től.

Példa

Normális eloszlású minta középértéke és szórásnégyzetének a függetlensége.

Legyenek X1, X2, ..., Xn független, azonos eloszlású normális valószínűségi változók μ középértékkel és σ² szórásnégyzettel. Ekkor:

μ ^ = ∑ X i n , {\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum X_{i}}{n}},\,}

a minta középértéke, mely egy komplett elégséges statisztika – azaz, minden információ megkapható a μ becsléséhez, és nem több, továbbá:

σ ^ 2 = ∑ ( X i − X ¯ ) 2 n − 1 , {\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum \left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}},\,}

a minta szórásnégyzete, mely egy kiegészítő statisztika – eloszlása nem függ μ-től. Így, a Basu-tételből következően, ezek a statisztikák függetlenek. A függetlenség a Cochran-tételből is levezethető. Továbbá, ez a tulajdonság, hogy a normális eloszlás középértéke és szórásnégyzete függetlenek, jellemzi a normális eloszlást – nincs más hasonló tulajdonságú eloszlás.[2]

Irodalom

  • Boos, Dennis D.; Oliver, Jacqueline M. Hughes: Applications of Basu's Theorem. (hely nélkül): The American Statistician (Boston: American Statistical Association) 52. 1998.  
  • Ghosh, Malay: Basu's Theorem with Applications: A Personalistic Review. (hely nélkül): Sankhyā: the Indian Journal of Statistics, Series A 64. 2002.  

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

  1. ↑ Basu (1955)
  2. ↑ Geary, R.C. (1936). „The Distribution of the "Student's" Ratio for the Non-Normal Samples”. Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society 3 (2), 178–184. o. DOI:10.2307/2983669.  
  • Matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap