Inégalités de Newton

En mathématiques, les inégalités de Newton découvertes par le mathématicien Isaac Newton relient entres elles les fonctions symétriques élémentaires.

Soient a1, a2, … , an des nombres réels strictement positifs et, pour k = 1, 2, … , n, les moyennes symétriques Sk définies par

S k = ∑ 1 ⩽ i 1 < ⋯ < i k ⩽ n a i 1 a i 2 ⋯ a i k ( n k ) ⋅ {\displaystyle S_{k}={\frac {\displaystyle \sum _{1\leqslant i_{1}<\cdots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1}}a_{i_{2}}\cdots a_{i_{k}}}{\displaystyle {n \choose k}}}\cdot }

Les numérateurs de ces expressions sont les fonctions symétriques élémentaires en les n {\displaystyle n} variables a1, a2, … , an. Le coefficient binomial au dénominateur est le nombre de termes du numérateur conformément à la définition d'une moyenne arithmétique. S 1 {\displaystyle S_{1}} est la moyenne arithmétique, et S n n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{S_{n}}}} la moyenne géométrique.

Alors, les inégalités de Newton s'écrivent, pour 1 ⩽ k ⩽ n − 1 {\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n-1} et en posant S 0 = 1 {\displaystyle S_{0}=1} [1]:

S k − 1 S k + 1 ⩽ S k 2 . {\displaystyle S_{k-1}S_{k+1}\leqslant S_{k}^{2}.}

Ces inégalités sont strictes, sauf si tous les ai sont égaux.

Par exemple, pour n = 3 {\displaystyle n=3} , les inégalités de Newtons s'écrivent 3 ( a b + b c + c a ) ⩽ ( a + b + c ) 2 {\displaystyle 3(ab+bc+ca)\leqslant (a+b+c)^{2}} et 3 a b c ( a + b + c ) ⩽ ( a b + b c + c a ) 2 {\displaystyle 3abc(a+b+c)\leqslant (ab+bc+ca)^{2}} .

Articles connexes

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Newton's inequalities » (voir la liste des auteurs).
  • ↑ Mohammed Aassila, 100 chalenges mathématiques, Analyse, Ellipses, , p. 294-296
    • Isaac Newton, Arithmetica universalis: sive de compositione et resolutione arithmetica liber,
    • Mathématiques de la matrice DS Bernstein : Théorie, faits et formules (2009, Princeton) p.   55
    • Maclaurin, « A second letter to Martin Folks, Esq.; concerning the roots of equations, with the demonstration of other rules in algebra, », Philosophical Transactions, vol. 36, nos 407–416,‎ , p. 59–96 (DOI 10.1098/rstl.1729.0011)
    • Whiteley, « On Newton's Inequality for Real Polynomials », The American Mathematical Monthly, The American Mathematical Monthly, Vol. 76, No. 8, vol. 76, no 8,‎ , p. 905–909 (DOI 10.2307/2317943, JSTOR 2317943)
    • Niculescu, « A New Look at Newton's Inequalities », Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, vol. 1, no 2,‎ (lire en ligne)


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