Capacité thermique isochore

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La capacité thermique isochore, que l'on note le plus souvent C V   {\displaystyle C_{V}~} , se définit par la dérivée partielle de l'énergie interne U par rapport à la température T calculée à volume V constant, soit :


C V   =   ( ∂ U ∂ T ) V {\displaystyle C_{V}\ =\ \left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}}


Comme l'énergie interne, c'est une grandeur extensive, qui s'exprime en joules par kelvin. Elle dépend en général de la température T et du volume V.

Exemple

Pour n moles d'un gaz parfait monoatomique, l'énergie interne se calcule explicitement :

U ( T )   =   3 2   n   R   T {\displaystyle U(T)\ =\ {\frac {3}{2}}\ n\ R\ T}

où R est la constante des gaz parfaits. L'énergie interne est ici indépendante du volume V, et la capacité thermique isochore est dans ce cas particulier égale à une constante :

C V   =   3 2   n   R {\displaystyle C_{V}\ =\ {\frac {3}{2}}\ n\ R}

Propriété

L'énergie interne U(T,V) étant en général une fonction de la température T et du volume V, la capacité thermique isochore s'introduit naturellement dans la forme différentielle :

d U   =   C V   d T   +   ( l − p )   d V {\displaystyle dU\ =\ C_{V}\ dT\ +\ (l-p)\ dV}

où l est un coefficient calorimétrique.

Variation avec le volume

L'énergie interne U étant une fonction d'état, la forme différentielle précédente est une différentielle exacte, et on en déduit la relation :

( ∂ C V ∂ V ) T   =   ( ∂ ( l − p ) ∂ T ) V   =   ( ∂ l ∂ T ) V   −   ( ∂ p ∂ T ) V {\displaystyle \left({\frac {\partial C_{V}}{\partial V}}\right)_{T}\ =\ \left({\frac {\partial (l-p)}{\partial T}}\right)_{V}\ =\ \left({\frac {\partial l}{\partial T}}\right)_{V}\ -\ \left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}}

La thermodynamique permet de montrer par ailleurs que le coefficient calorimétrique l est égal à :

l   =   T   ( ∂ p ∂ T ) V {\displaystyle l\ =\ T\ \left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}}

On en déduit la dérivée partielle de la capacité thermique isochore par rapport au volume à température constante :


( ∂ C V ∂ V ) T   =   T   ( ∂ 2 p ∂ T 2 ) V {\displaystyle \left({\frac {\partial C_{V}}{\partial V}}\right)_{T}\ =\ T\ \left({\frac {\partial ^{2}p}{\partial T^{2}}}\right)_{V}}


Si l'on connait l'équation d'état du système étudié, on peut donc calculer cette dérivée partielle.

Variation avec la température

La thermodynamique ne permet pas de calculer la dérivée partielle de la capacité thermique isochore par rapport à la température à volume constant :

( ∂ C V ∂ T ) V   =   ? {\displaystyle \left({\frac {\partial C_{V}}{\partial T}}\right)_{V}\ =\ \mathrm {?} }

Cette variation doit donc être mesurée expérimentalement pour chaque système.

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