Sirkulaatio

Vektorikentän viivaintegraali suljetun käyrän yli on sen kierto^[1] eli sirkulaatio (engl. circulation) tuon käyrän ympäri. Sirkulaatiota merkitään Γ:lla (iso kreikkalainen gamma-kirjain). Jos ${\textstyle \mathbf {F} }$ on jatkuva vektorikenttä ja ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ on suljettu käyrä, jonka parametrisaatio on ${\textstyle \mathbf {r} :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$, niin ${\textstyle \mathbf {F} }$:n sirkulaatio ${\textstyle {\mathcal {C}}}$:n ympäri on integraali

${\displaystyle \Gamma =\oint _{\mathcal {C}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }$^[2][3]

Integraalimerkissä oleva rengas painottaa sitä, että käyrä ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ on suljettu.

Stokesin lauseen mukaan vektorikentän kierto käyrän C ympäri vastaa vektorikentän roottorin integraalia minkä tahansa käyrän rajaaman pinnan S yli:

${\displaystyle \oint _{\mathcal {C}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =\int _{\mathcal {S}}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }$,

missä da on pinta-ala-alkio, joka on pintaa vastaan kohtisuora, ja jonka etumerkki määräytyy oikean käden säännön mukaisesti käyrän kiertosuunnan perusteella.

Virtausmekaniikassa vektorikenttä ${\textstyle \mathbf {F} =\mathbf {v} (x,y,z)=v_{x}(x,y,z)\,\mathbf {i} +v_{y}(x,y,z)\,\mathbf {j} +v_{z}(x,y,z)\,\mathbf {k} }$ on nesteen tai kaasun nopeus. Tällöin nopeuskentän sirkulaatio suljetun käyrän ympäri kertoo käyrän sisäpuolelle jäävien pyörteiden voimakkuudesta. Vapaan vorteksin, jonka voimakkuus on ${\textstyle K}$, tapauksessa nopeuskentän sirkulaatio vorteksin ympäri on

${\displaystyle \Gamma =2\pi K}$.^[3]

Stokesin lausetta käyttämällä nähdään, että pyörteettömän virtauksen (${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =0}$) sirkulaatio minkä tahansa suljetun käyrän ympäri on nolla: Merkitään käyrän ${\textstyle {\mathcal {C}}}$ rajaamaa pintaa ${\textstyle {\mathcal {S}}}$:llä, jolloin Stokesin lauseen mukaan

${\displaystyle \Gamma =\oint _{\mathcal {C}}\mathbf {v} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\iint _{\mathcal {S}}\left(\nabla \times \mathbf {v} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$.

Pääartikkeli: Kutta–Žukovski-teoreema

Virtaukseen asetettuun lieriöön kohdistuvan nostovoiman suuruus ${\textstyle L}$ riippuu virtauksen nopeuskentän sirkulaatiosta lieriön poikkipinnan reunakäyrän ympäri:

${\displaystyle {\frac {L}{b}}=-\rho U_{\infty }\Gamma }$,^[4]

missä

${\textstyle b}$ on lieriön pituus (virtauksen sisällä oleva osa),

${\textstyle \rho }$ on ympäröivän fluidin tiheys ja

${\textstyle U_{\infty }}$ on vapaan virtauksen vauhti kaukana lieriöstä.

Miinusmerkki yhtälössä johtuu siitä, että nostovoiman suunta on 90° virtauksen suunnasta sirkulaation kiertosuuntaa vastaan.^[4]