Paulin matriisit

Paulin matriisit ovat Wolfgang Paulin mukaisesti nimettyjä hermiittisiä ja unitaarisia ${\displaystyle 2\times 2}$-matriiseja.^[1] Paulin matriiseja voidaan käyttää kuvaamaan fysikaalista suuretta, jolla on kaksi mahdollista arvoa. Pauli loikin matriisit kuvatakseen elektronin spiniä,^[2] joka siis voi saada kaksi eri arvoa: +½ tai -½.

Paulin matriisit esitetään muodossa^[3][4]

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},}$

missä ${\displaystyle i}$ on imaginaariyksikkö. Yllä olevien matriisien avulla voidaan kirjoittaa spin muodossa ${\displaystyle {\vec {S}}={\frac {\hbar }{2}}{\hat {\sigma }}}$.

Paulin matriiseille pätee relaatio^[5]

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{x}^{2}={\hat {\sigma }}_{y}^{2}={\hat {\sigma }}_{z}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}$,

eli matriisien neliöt ovat yksikkömatriiseja.

Paulin matriisit kommutoivat seuraavasti:^[5]

${\displaystyle [{\hat {\sigma }}_{x},{\hat {\sigma }}_{y}]=2i{\hat {\sigma }}_{z}\,\!}$

${\displaystyle [{\hat {\sigma }}_{y},{\hat {\sigma }}_{z}]=2i{\hat {\sigma }}_{x}\,\!}$

${\displaystyle [{\hat {\sigma }}_{z},{\hat {\sigma }}_{x}]=2i{\hat {\sigma }}_{y}\,\!}$.