Maxwellin relaatiot ovat termodynamiikan keskeisten tilafunktioiden välisistä riippuvuuksista johdetut tilafunktioiden osittaisderivaattariippuvuudet. James Clerk Maxwell julkaisi nämä relaatiot v. 1871.
Tilafunktioiden riippuvuudet toisistaan
Termodynamiikan ensimmäisen ja toisen pääsäännön yhdistelmänä sisäenergialle saadaan
- (1)
![{\displaystyle \qquad dU\,=\,T\,dS-P\,dV}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1afb14b499cc7d7fb1f907e046686322aba3d26)
Termodynamiikan kolme muuta tilafunktiota, entalpia ja molemmat vapaaenergiat, ovat määritelty seuraavasti:
,
,
, joten on kirjoitettavissa seuraavat kokonaisdifferentiaalit:[1]
- (2)
![{\displaystyle \qquad {\begin{aligned}dU&\,=\,TdS-PdV\\dH&\,=\,dU+PdV+VdP\,=\,TdS+VdP\\dA&\,=\,dU-TdS-SdT\,=\,-SdT-PdV\\dG&\,=\,dH-TdS-SdT\,=\,-SdT+VdP\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af64a2bfb6e0ecbee76d1b1b3d6ab449d335ecb)
Tarkasteltaessa entropiaa ja tilavuutta sisäenergian itsenäisinä muuttujina, niin sisäenergian kokonaisdifferentiaali on
- (3)
![{\displaystyle \qquad dU\,=\,{\Bigg (}{\frac {\partial U}{\partial S}}{\Bigg )}_{V}dS+{\Bigg (}{\frac {\partial U}{\partial V}}{\Bigg )}_{S}dV}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d9241fc4c4a12d3bc0f1d61e3cf190af6fce51)
Verrattaessa tätä yhtälön (2) sisäenergian yhtälöön, voidaan todeta seuraava
- (4)
ja![{\displaystyle \qquad {\Bigg (}{\frac {\partial U}{\partial V}}{\Bigg )}_{S}\,=\,-P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe7a1ecc868001b8cad73bcea598dc881b7ad6d)
Termodynamiikan keskeiset funktiot (
) todistetaan tilafunktioiksi funktioiden toisten osittaisderivaattojen avulla siten, että pätee
- (5)
![{\displaystyle \qquad {\Bigg [}{\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigg (}{\frac {\partial z}{\partial x}}{\Bigg )}_{y}{\Bigg ]}_{x}\,=\,{\Bigg [}{\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigg (}{\frac {\partial z}{\partial y}}{\Bigg )}_{x}{\Bigg ]}_{y}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60245be3c72af6ed3e8bb952b614e374cddb9cb4)
Toisin sanoen jatkuvien funktioiden ristikkäiset toiset osittaisderivaatat ovat identtisiä keskenään. Sovellettaessa tämä sisäenergialle, saadaan
. Sovellettaessa tätä edelleen yhtälöön (4) saadaan yhtälörelaatio:
- (6)
![{\displaystyle \qquad {\Bigg (}{\frac {\partial T}{\partial V}}{\Bigg )}_{S}\,=\,-{\Bigg (}{\frac {\partial P}{\partial S}}{\Bigg )}_{V}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38bc4df1f5785b9171503287037abf5d199185d7)
Tehtäessä samanlainen tarkastelu muille em. tilafunktioille, saadaan yhtälöt, jotka on nimetty James Clerk Maxwellin mukaan Maxwellin relaatioiksi:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\Bigg (}{\frac {\partial T}{\partial V}}{\Bigg )}_{S}&\,=\,-{\Bigg (}{\frac {\partial P}{\partial S}}{\Bigg )}_{V}\\{\Bigg (}{\frac {\partial T}{\partial P}}{\Bigg )}_{S}&\,=\,{\Bigg (}{\frac {\partial V}{\partial S}}{\Bigg )}_{P}\\{\Bigg (}{\frac {\partial S}{\partial V}}{\Bigg )}_{T}&\,=\,{\Bigg (}{\frac {\partial P}{\partial T}}{\Bigg )}_{V}\\-{\Bigg (}{\frac {\partial S}{\partial P}}{\Bigg )}_{T}&\,=\,{\Bigg (}{\frac {\partial V}{\partial T}}{\Bigg )}_{P}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f714a49440ef4ee526215e24a2cee14ddb895f58)
Maxwellin relaatioita voidaan käyttää johdettaessa muita termodynaamisia yhtälöitä. Esimerkiksi Clausiuksen–Clapeyronin yhtälö voidaan johtaa kolmannesta relaatiosta.
Katso myös
- Reaktiokinetiikka
- Termodynaaminen tasapaino
- Nernstin teoreema
- Clausiuksen teoreema
- Gibbsin vapaaenergia
- Helmholtzin vapaaenergia
- Lämpökapasiteetti
Lähteet
- ↑ Thomas Engel ja Philip Reid, Thermodynamics, Statistical Thermodynamics and Kinetics, (2006), s. 117, Pearson, ISBN 0-8053-3844-6
Aiheesta muualla
- University of Oulu: Thermodynamic potentials (pdf)