Funtzioen konposaketa

Aljebra abstraktuan, funtzio konposatua bi funtzioren konposaketaren edo aplikazio jarraituaren emaitza den funtzioa da. Funtzio konposatu baten iturburu-multzoa bera eratzerakoan aplikatu den lehen funtzioaren iturburu-multzoa da eta irudi-multzoa aldiz, aplikatu den azken funtzioaren irudi-multzoa. Funtzio konposatuak, oro har, ez dira trukakorrak eta propietate jakin batzuk betetzen dituzte. Funtzio konposatuaren funtzio-mota hura eratzeko erabili diren funtzio-moten araberakoa izango da.

Definizioa

Matematikoki adierazita, ondorengoa dugu:

Izan bitez ${\displaystyle f:A\longrightarrow B}$ eta ${\displaystyle g:B\longrightarrow C}$ funtzioak. f eta g-ren funtzio konposatu ${\displaystyle g\circ f}$ honela definitzen da:

${\displaystyle g\circ f:A\longrightarrow C}$;

Non A f funtzioaren iturburu-multzoa den, B f funtzioaren irudi-multzoa eta g funtzioaren iturburu-multzoa eta C B funtzioaren iturburu-multzoa. Funtzio konposatuari g konposatu f deritzo.

Beraz, funtzio konposatu oro honela adieraz daiteke:

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$ , non x barne A den.

Hori horrela, ondorengo moduan interpretatu daiteke funtzio konposatu baten aplikazioa:

${\displaystyle g\circ f:A\longrightarrow B\longrightarrow C}$

${\displaystyle g\circ f:x\mapsto f(x)\mapsto g(f(x))}$

Propietateak

Ondoko funtzioak ditugularik,

${\displaystyle f:A\longrightarrow B}$, ${\displaystyle g:B\longrightarrow C}$ eta ${\displaystyle h:C\longrightarrow D}$

• Funtzioen konposaketa elkarkorra da. Hau da: ${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)=h\circ g\circ f}$
• Funtzioen konposaketa ez da trukakorra. Hau da: ${\displaystyle f\circ g\neq g\circ f}$
• Identitate funtzioa eta funtzio baten arteko konposaketa funtzioa bera da. Hau da: ${\displaystyle f\circ id_{A}=f}$
• Funtzio baten eta bere alderantzizkoaren arteko konposaketa identitate funtzioa da. Hau da: ${\displaystyle f^{-1}\circ f=id_{A}}$
• Funtzio konposatu baten alderantzizkoa, funtzio konposatu hori osatzen duten funtzioen alderantzizkoen alderantzizko konposaketaren berdina da. Hau da: ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}}$
• Funtzio konposatuaren funtzio-mota konposatu diren funtzioen motaren araberakoa izango da:
  • ${\displaystyle f}$ eta ${\displaystyle g}$ funtzioak injektiboak badira, ${\displaystyle g\circ f}$ injektiboa izango da.
  • ${\displaystyle f}$ eta ${\displaystyle g}$ funtzioak supraiektiboak badira, ${\displaystyle g\circ f}$ supraiektiboa izango da.
  • ${\displaystyle f}$ eta ${\displaystyle g}$ funtzioak bijektiboak badira, ${\displaystyle g\circ f}$ bijektiboa izango da.

Adibidea

Izan bitez 2 funtzio:

${\textstyle f(x)=x^{2}}$

${\displaystyle g(x)=sin(x)}$

Orduan, f eta g-ren funtzio konposatua, ${\displaystyle g\circ f(x)=g(f(x))=g((x^{2}))=sin(x^{2})}$

Bestalde, ${\displaystyle f\circ g(x)=f(g(x))=g((sin(x)))=sin^{2}(x)}$

Ohartu, ${\displaystyle g\circ f\neq f\circ g}$ dela, hau da, funtzioen konposaketa ez da trukakorra.

Kanpo estekak

• Datuak: Q244761
• Multimedia: Composition (mappings) / Q244761