Función suma indicatriz

En teoría de números, la función suma indicatriz ${\displaystyle \Phi (n)}$ es una función sumatoria de la función indicatriz de Euler definida como:

${\displaystyle \Phi (n):=\sum _{k=1}^{n}\varphi (k),\quad n\in \mathbf {N} }$

Propiedades

Usando inversión de Möbius a la función indicatriz, se obtiene

${\displaystyle \Phi (n)=\sum _{k=1}^{n}k\sum _{d\mid k}{\frac {\mu (d)}{d}}={\frac {1}{2}}\left(1+\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ^{2}\right)}$

Φ(n) tiene la expansión asintótica

${\displaystyle \Phi (n)\sim {\frac {1}{2\zeta (2)}}n^{2}+O\left(n\log n\right),}$

donde ζ(2) es la función zeta de Riemann para el valor 2.

El sumatorio de la función indicatriz inversa

El sumatorio de la función indicatriz inversa se define como

${\displaystyle S(n):=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}}$

Edmund Landau mostró en 1900 que esta función tiene el comportamiento asintótico

${\displaystyle S(n)\sim A(\gamma +\log n)+B+O\left({\frac {\log n}{n}}\right)}$

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni,

${\displaystyle A=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)^{2}}{k\varphi (k)}}={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)}$

y

${\displaystyle B=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)^{2}\log k}{k\,\varphi (k)}}=A\,\prod _{p}\left({\frac {\log p}{p^{2}-p+1}}\right).}$

La constante A = 1.943596... es conocida a veces como constante indicatriz de Landau. La suma ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\varphi (k)}}}$ es convergente e igual a:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\varphi (k)}}=\zeta (2)\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=2.20386\ldots }$

En este caso, el producto sobre los números primos en la parte derecha es una constante conocida como constante sumatorio indicatriz,^[1]​ y su valor es:

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=1.339784\ldots }$

Véase también

• Función aritmética

Referencias

• Weisstein, Eric W. «Totient Summatory Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

Enlaces externos

• Totient summatory function (en inglés)
• Decimal expansion of totient constant product(1 + 1/(p^2*(p-1))), p prime >= 2) (en inglés)