Función psi de Dedekind

En teoría de números, la función psi de Dedekind es la función multiplicativa sobre los enteros positivos definida por

${\displaystyle \psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right),}$

donde el producto es tomado sobre todos los números primos p que dividen a n (por convención, ψ(1) es el producto vacío y tiene el valor 1). La función fue introducida por Richard Dedekind en conexión con las funciones modulares.

El valor de ψ(n) para los primeros enteros n es:

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24 ... (sucesión A001615 en OEIS).

ψ(n) es mayor que n para todo n mayor que 1, y es par para todo n mayor que 2. Si n es un Entero libre de cuadrados entonces ψ(n) = σ(n).

La función ψ puede también ser definida mediante la propiedad ψ(pⁿ) = (p+1)p^n-1 para potencias de cualquier primo p, y luego extender la definición a todos los enteros por multiplicabilidad. Esto también permite una demostración de la función generadora en términos de la función zeta de Riemann, que es

${\displaystyle \sum {\frac {\psi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}}.}$

Esto también es una consecuencia del hecho de que se puede escribir como una convolución de Dirichlet ${\displaystyle \psi =n*\epsilon _{2}}$, donde ${\displaystyle \epsilon _{2}}$ es la función característica de los cuadrados.

Grandes órdenes

La generalización a grandes órdenes usando ratios de indicatrices de Jordan es

${\displaystyle \psi _{k}(n)={\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}}$

donde la serie de Dirichlet

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\psi _{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s)}}}$.

Es también la convolución de Dirichlet de una potencia y el cuadrado de la función de Möbius,

${\displaystyle \psi _{k}(n)=n^{k}*\mu ^{2}(n)}$.

Si

${\displaystyle \epsilon _{2}=1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0\ldots }$

es la función característica de los cuadrados, otra convolución de Dirichlet permite la generalización de la función σ,

${\displaystyle \epsilon _{2}(n)*\psi _{k}(n)=\sigma _{k}(n)}$.

Referencias

• Goro Shimura (1971). Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions (en inglés). Princeton.  (page 25, equation (1))

• Carella, N. A. (2010). «Squarefree Integers And Extreme Values Of Some Arithmetic Functions» (en inglés). arXiv:1012.4817. 
• Mathar, Richard J. (2011). «Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions» (en inglés). arXiv:1106.4038.  Section 3.13.2
• A065958 es ψ₂, A065959 es ψ₃, y A065960 es ψ₄

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Dedekind Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.