Divisor unitario

En matemática, un número natural a es un divisor unitario de un número b si a es un divisor de b y si a y ${\tfrac {b}{a}}$ son coprimos, no teniendo un factor común diferente de 1. Así, 5 es un divisor unitario de 60, puesto que 5 y ${\tfrac {60}{5}}=12$ tienen únicamente 1 como factor común, mientras que 6 es un divisor, pero no un divisor unitario de 60, dado que 6 y ${\tfrac {60}{6}}=10$ tienen un factor común distinto de 1, que es 2. 1 es un divisor unitario de cualquier número natural.

Equivalentemente, un divisor a de b es un divisor unitario si y solo si todo factor primo de a tiene la misma multiplicidad en a como esta la tiene en b.

La función suma de divisores unitarios se denota mediante la letra minúscula griega sigma, así: σ*(n). La suma de las k-ésimas potencias de los divisores unitarios se denota por σ*_k(n):

\sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\mid n \atop \operatorname {mcd} (d,n/d)=1}\!\!d^{k}.

Se denomina número perfecto unitario a la suma de todos los divisorios unitarios propios de un número natural compuesto.^[1]

Propiedades

El número de divisores unitarios de un número n es 2^k, donde k es el número de factores primos distintos de n. La suma de divisores unitarios de n es impar si n es una potencia de 2 (incluyendo 1), y par de cualquier otra forma.

Ambas, cantidad y suma de divisores unitarios de n son funciones multiplicativas de n que no son completamente multiplicativas. La función generadora de Dirichlet es

{\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s-k)}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{*}(n)}{n^{s}}}.

Divisores unitarios impares

La suma de las k-ésimas potencias de los divisores unitarios impares es

\sigma _{k}^{(o)*}(n)=\sum _{{d\mid n \atop d\equiv 1{\pmod {2}}} \atop \operatorname {mcd} (d,n/d)=1}\!\!d^{k}.

Esta también es multiplicativa, con una función generadora de Dirichlet

{\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)(1-2^{k-s})}{\zeta (2s-k)(1-2^{k-2s})}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{(o)*}(n)}{n^{s}}}.

Divisores bi-unitarios

Un divisor d de n es un divisor bi-unitario si el máximo común divisor de d y n/d es 1. El número de divisores bi-unitarios de n es una función multiplicativa de n con orden medio $A\log x$ , donde^[2]

A=\prod _{p}\left({1-{\frac {p-1}{p^{2}(p+1)}}}\right)\ .

Un número perfecto bi-unitario es aquel igual a la suma de sus divisores propios bi-unitarios. Los únicos números así son 6, 60 y 90.^[3]

Referencias y notas

↑ Para que un numeral natural tenga divisor unitario tiene que ser compuesto
↑ Ivić (1985) p.395
↑ Sandor et al (2006) p.115

Richard K. Guy (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. p. 84. ISBN 0-387-20860-7. Section B3.
Paulo Ribenboim (2000). My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. Springer-Verlag. p. 352. ISBN 0-387-98911-0.
Cohen, Eckford (1959). «A class of residue systems (mod r) and related arithmetical functions. I. A generalization of Möbius inversion». Pacific J. Math. 9 (1). pp. 13—23. MR 0109806.
Cohen, Eckford (1960). «Arithmetical functions associated with the unitary divisors of an integer». Mathematische Zeitschrift 74. pp. 66—80. MR 0112861. doi:10.1007/BF01180473.
Cohen, Eckford (1960). «The number of unitary divisors of an integer». American mathematical monthly 67 (9). pp. 879—880. MR 0122790.
Cohen, Graeme L. (1990). «On an integers' infinitary divisors». Math. Comp. 54 (189). pp. 395—411. MR 0993927. doi:10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5.
Cohen, Graeme L. (1993). «Arithmetic functions associated with infinitary divisors of an integer». Intl. J. Math. Math. Sci. 16 (2). pp. 373—383. doi:10.1155/S0161171293000456.
Finch, Steven (2004). «Unitarism and Infinitarism». Archivado desde el original el 21 de julio de 2011.
Ivić, Aleksandar (1985). The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications. A Wiley-Interscience Publication. New York etc.: John Wiley & Sons. p. 395. ISBN 0-471-80634-X. Zbl 0556.10026.
Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.