Das Proximum ist ein vor allem in der numerischen Mathematik verwendeter Begriff aus der Theorie der metrischen Räume. Das Proximum zu einem Punkt
innerhalb einer
nicht enthaltenden Menge
ist derjenige Punkt aus
, der zu
den geringsten Abstand hat.
Definition
Sei
ein metrischer Raum,
eine Teilmenge und
beliebig. Der Abstand des Elements
zur Teilmenge
wird mittels der Distanzfunktion
definiert durch
![{\displaystyle \operatorname {dist} (x,Y):=\inf _{y\in Y}d(x,y)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e637232b6f80cb2299ed7517418b9e9b077a37)
Existiert nun ein
mit:
![{\displaystyle d(x,p)=\operatorname {dist} (x,Y)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ed0a90d1480dc7aedb3f96f330a2e048e9e4e4)
so nennt man
Proximum oder Bestapproximation zu
in
.
Wenn ein Proximum existiert, so muss es nicht eindeutig sein.
Üblicherweise hat man es in der Approximationstheorie mit einem normierten Raum
zu tun. Ein Proximum
zu
in
ist dann – falls existent – charakterisiert durch die Gleichung
![{\displaystyle \lVert x-p\rVert =\inf _{y\in Y}\lVert x-y\rVert }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db823d68a400c8995a2f8a759ddcf2b2a1fb0a09)
Zur Existenz eines Proximums
- Sei
ein metrischer Raum.
sei eine kompakte Teilmenge. Dann hat jedes
ein Proximum in
.
- Sei
ein normierter Raum.
sei ein endlichdimensionaler Teilraum und
eine abgeschlossene Teilmenge. Dann hat jedes
ein Proximum in
.
Eindeutigkeit des Proximums in Tschebyschow-Systemen
Sei
ein Tschebyschow-System. Dann ist das Proximum für
aus
eindeutig bestimmt.
Sei
ein endlichdimensionaler Unterraum von
. Ist für jedes
das Proximum aus
eindeutig bestimmt, dann ist
ein Tschebyschow-System.
Alternanten-Kriterium in Tschebyschow-Systemen
Sei
ein
-dimensionales Tschebyschow-System.
ist genau dann ein Proximum für
aus
, wenn es
Stellen
mit
gibt, so dass
,
(Extremalpunkt)
,
(alternierend)
Dies folgt aus dem Kolmogorow-Kriterium aus der Approximationstheorie. Auf diesem Kriterium basiert der Remez-Algorithmus zur numerischen Bestimmung des Proximums in Tschebyschow-Systemen.
Proximum im Hilbertraum
Ist
ein Hilbertraum und
eine abgeschlossene konvexe nichtleere Teilmenge, dann ist das Proximum eindeutig, das heißt, es existiert zu jedem
genau ein
mit
.
Ist
ein abgeschlossener Untervektorraum, so erhält man das Proximum
als Orthogonalprojektion von
auf
.
Siehe auch
Literatur
- Arnold Schönhage: Approximationstheorie. de Gruyter, Berlin 1971, ISBN 3-11-001982-5 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).