Als Parameterintegral wird in der Analysis ein Integral bezeichnet, dessen Integrand von einem Parameter abhängt. Ein wichtiges Beispiel ist die eulersche Darstellung der Gammafunktion. Der Wert eines solchen Integrals ist dann eine Funktion des Parameters und es stellt sich beispielsweise die Frage, ob diese Funktion stetig oder differenzierbar ist.
Definition des Parameterintegrals
Es seien
ein metrischer Raum,
ein Maßraum,
ein Banachraum und
. Für alle
sei
über
integrierbar bezüglich des Maßes
. Dann heißt
![{\displaystyle F(x)=\int _{\Omega }f(x,\omega )\,\mu (\mathrm {d} \omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f9f31146987b621da922e7a559426f555e5e8d0)
Parameterintegral mit dem Parameter
.
Beispiele
- Die Gammafunktion
ist definiert über das Parameterintegral
.
- Betrachte den Maßraum
und
. Dann ist die Funktion![{\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f\,\mathrm {d} \mu =\int _{\mathbb {R} }1_{[a,x]}f\,\mathrm {d} \mu ,\quad a\in \mathbb {R} ,\quad x\geq a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b4cb9bbead56b4719c2e55afcaab5205e234f8)
ein Parameterintegral. Aus dem Satz der majorisierten Konvergenz folgt, dass
stetig ist (man beachte, dass dieses Integral nicht die Voraussetzungen des unten genannten Satzes erfüllt, da
nicht stetig ist). Gemäß dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für Lebesgue-integrale ist
sogar absolut stetig. Im Allgemeinen existiert allerdings kein
, sodass
für alle
lokal
-Hölder stetig ist (was eine stärkere Stetigkeitseigenschaft wäre). Dafür betrachte man z. B. den Fall
(Lebesgue-Maß) und folgende Familie von (numerischen) Funktionen mit ![{\displaystyle p\in (0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/139f72fc2fc3c385635992a8764c0eccd77a3913)
.
Diese Funktionen sind messbar, da sie auf
stetig sind und
ist. Das Integral über
und
entspricht hier dem uneigentlichen Riemann-Integral, sodass
.
Im Punkt
ist
offensichtlich
-Hölder stetig mit
, aber da
beliebig war, kann
nicht positiv sein.
Stetigkeit von Parameterintegralen
Sei
ein metrischer Raum,
ein Maßraum,
ein Banachraum. Für eine Abbildung
gelte
für jedes
,
(also stetig) für
-f.a.
, - Es gibt ein
mit
für
.
Dann ist
![{\displaystyle F\colon X\to E,\ x\mapsto \int _{\Omega }f(x,\omega )\mu (\mathrm {d} \omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7c4e93ef13b83cbc27551785534c4427298dc90)
wohldefiniert und stetig.
Differenzierbarkeit von Parameterintegralen
Sei
offen,
ein Maßraum,
ein Banachraum. Für eine Abbildung
gelte
für jedes
,
(also stetig differenzierbar) für
-f.a.
, - Es gibt ein
mit
für
.
Dann ist
![{\displaystyle F\colon U\to E,\ u\mapsto \int _{\Omega }f(u,\omega )\mu (\mathrm {d} \omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b2c1c74e3b1cb1a8c984adcd2c370f7f86a97cc)
stetig differenzierbar mit
![{\displaystyle \partial _{j}F(u)=\int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial u^{j}}}f(u,\omega )\mu (\mathrm {d} \omega ),\quad u\in U,\quad 1\leqslant j\leqslant d.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20550565dd02c8e23474af762dd6e3228b2fa5ed)
Unter geeigneten Voraussetzungen können also Differentiation nach einem Parameter und Integration vertauscht werden.
Leibnizregel für Parameterintegrale
Die Ableitung eines Parameterintegrals nach dem Parameter wird durch die Leibnizregel für Parameterintegrale beschrieben.
Literatur
- Harro Heuser: Analysis 2. 9. Auflage, Teubner, 1995, ISBN 3-519-32232-3, S. 101ff.
- René L. Schilling: Measures, Integrals and Martingales 3. Auflage, Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-0-521-61525-9, S. 92ff.