Die Gamma-Gamma-Verteilung ist eine univariate Verteilung für stetige Zufallsvariablen, die in der Bayesschen Statistik und in der Inferenztheorie eine wichtige Rolle spielt, da es sich um eine Mischverteilung handelt.
Definition
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Gamma-Gamma-Verteilung
ist bei
![{\displaystyle f(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{B(\alpha ,\delta )}}{\frac {x^{\delta -1}}{(\beta +x)^{\alpha +\delta }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c7a574a70a2264c1af0401532b215226f4bc63)
wobei
die Eulersche Betafunktion ist.
Eigenschaften
Erwartungswert und Varianz
Der Erwartungswert ist
, für ![{\displaystyle \alpha >1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d81dbbc4786493c7b8548cc324a978d7cf5dbd)
und die Varianz
, für ![{\displaystyle \alpha >2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/432334d220d6e1b0340cc2a37531d0327494a8e2)
Modus
Der Modus ist
, für ![{\displaystyle \delta >1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8c7909361f6752165797725985bb0d520484ea)
Sonderfall δ=1
Falls δ=1, dann ist die Dichtefunktion
![{\displaystyle f(x|\delta =1)={\frac {\alpha }{\beta +x}}\left({\frac {\beta }{\beta +x}}\right)^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c51effc84fee34f34a688c5f0d7e59e20bc89019)
Da
wendet man diesen Sonderfall an der Exponentialverteilung, mit gammaverteiltem
Parameter
.
Sonderfall β=1: Inverse Betaverteilung
Eine Gamma-Gamma-Verteilung
entspricht einer inversen Betaverteilung
Beziehung zur Gammaverteilung
Ist der zweite Parameter
der Gammaverteilung
eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung
verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung
verteilt.
Beziehung zur Exponentialverteilung
Ist der Parameter
der Exponentialverteilung
eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung
verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung
verteilt.
Literatur
- Leonhard Held: Methoden der statistischen Inferenz. Likelihood und Bayes, unter Mitwirkung von Daniel Sabanés Bové, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1939-2
Siehe auch
Diskrete univariate Verteilungen
Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | Dirac | diskret uniform | empirisch | hypergeometrisch | kategorial | negativ hypergeometrisch | Rademacher | verallgemeinert binomial | Zipf | Zipf-Mandelbrot | Zweipunkt
Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta
Kontinuierliche univariate Verteilungen
Multivariate Verteilungen