Zlatý úhel

Zlatý úhel

Zlatý úhel se v geometrii nazývá úhel, který rozděluje kruh na dva úhly (přesněji řečeno na kruhové výseče) α a β pro které platí, že poměr menšího úhlu α k většímu β je rovný poměru většího úhlu k celému kruhu:

α β = β 360 ∘ {\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\beta }{360^{\circ }}}}
α + β = 360 ∘ {\displaystyle \alpha +\beta =360^{\circ }}

Menší úhel α se označuje řeckým písmenem ψ a rovná se přibližně 137,51° (≈ 2,40 radiánu).

Výpočet

Výpočet užitím zlatého řezu

Zlatý úhel souvisí s číslem nazývaným zlatý řez (φ ≈ 1,618), což je vlastně poměr mezi jednotlivými úhly:

β = φ α {\displaystyle \beta =\varphi \alpha } respektive β = φ ψ {\displaystyle \beta =\varphi \psi }
360 ∘ = φ β {\displaystyle 360^{\circ }=\varphi \beta }

Po vzájemném dosazení rovnic dostaneme:

360 ∘ = φ 2 α {\displaystyle 360^{\circ }=\varphi ^{2}\alpha } respektive 360 ∘ = φ 2 ψ {\displaystyle 360^{\circ }=\varphi ^{2}\psi }

Z tohoto vztahu můžeme vypočítat hodnotu zlatého úhlu ψ:

ψ = 360 ∘ φ 2 ≈ 137 , 51 ∘ {\displaystyle \psi ={\frac {360^{\circ }}{\varphi ^{2}}}\approx 137,51^{\circ }}

Výpočet bez znalosti zlatého řezu

Pokud nevíme o existenci zlatého řezu nebo jeho souvislosti se zlatým úhlem, můžeme se pokusit spočítat velikost zlatého úhlu ψ jinak. V následujícím postupu, který je velmi podobný výpočtu hodnoty zlatého řezu, jsou použity radiány místo stupňů (2π rad = 360°) a je počítána velikost úhlu α, který vlastně představuje hledaný zlatý úhel.

Úloha je zadána dvěma rovnicemi.

α β = β 2 π {\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\beta }{2\pi }}}
α + β = 2 π {\displaystyle \alpha +\beta =2\pi }

Z druhé rovnice vyjádříme β a dosadíme jej do první rovnice.

β = 2 π − α {\displaystyle \beta =2\pi -\alpha }
α 2 π − α = 2 π − α 2 π {\displaystyle {\frac {\alpha }{2\pi -\alpha }}={\frac {2\pi -\alpha }{2\pi }}}

Vynásobením čitatelů jmenovateli se zbavíme zlomků.

2 π α = ( 2 π − α ) 2 {\displaystyle 2\pi \alpha =\left(2\pi -\alpha \right)^{2}}

Umocníme závorku a převedeme na jednu stranu.

2 π α = 4 π 2 − 4 π α + α 2 {\displaystyle 2\pi \alpha =4\pi ^{2}-4\pi \alpha +\alpha ^{2}}
α 2 − 6 π α + 4 π 2 = 0 {\displaystyle \alpha ^{2}-6\pi \alpha +4\pi ^{2}=0}

Z kvadratické rovnice vypočteme dva kořeny α1 a α2.

α 1 , 2 = 6 π ± 36 π 2 − 16 π 2 2 {\displaystyle \alpha _{1,2}={\frac {6\pi \pm {\sqrt {36\pi ^{2}-16\pi ^{2}}}}{2}}}
α 1 = π ( 3 + 5 ) ≐ 5 , 24 π ≐ 16 , 45 r a d {\displaystyle \alpha _{1}=\pi \left(3+{\sqrt {5}}\right)\doteq 5,24\pi \doteq 16,45\,rad}
α 2 = π ( 3 − 5 ) ≐ 0 , 76 π ≐ 2 , 40 r a d {\displaystyle \alpha _{2}=\pi \left(3-{\sqrt {5}}\right)\doteq 0,76\pi \doteq 2,40\,rad}

Je zřejmé, že první kořen α1 je větší než 2π. Tím pro nás ztrácí praktický význam a zanedbáme jej. Získáváme tak hledanou velikost zlatého úhlu ψ.

ψ ≐ 2 , 4000 r a d ≐ 137 , 51 ∘ {\displaystyle \psi \doteq 2,4000\,rad\doteq 137,51^{\circ }}

Biologie

Zlatý úhel je důležitou veličinou v biologii. Listy, které postupně rostou jeden za druhým, se nacházejí na hustě svinuté tzv. genetické spirále. Při pohledu zvrchu lze sledovat úhel mezi spojnicemi středu stonku a následných listů. Všechny listy vyrůstají zhruba ve stejném úhlu kolem středu. Tento úhel se blíží zlatému úhlu.

Podobně vyrůstají například i jednotlivé okvětní lístky květu růže nebo jednotlivá semena na květu slunečnice.

Související články

Externí odkazy

  • Logo Wikimedia Commons Obrázky, zvuky či videa k tématu zlatý úhel na Wikimedia Commons