Topologia geomètrica

Aquest article o secció necessita millorar una traducció deficient.
Podeu col·laborar-hi si coneixeu prou la llengua d'origen. També podeu iniciar un fil de discussió per consultar com es pot millorar. Elimineu aquest avís si creieu que està solucionat raonablement.
Una superfície Seifert delimitada per un conjunt de nusos borromeus. Les superfícies de Seifert per a enllaços són una eina útil en topologia geomètrica

La topologia geomètrica (topologia de dimensions baixes) és l'àrea de la topologia i la topologia algebraica que estudia problemes geomètrics, topològics i algebraics que sorgeixen en l'estudi de varietats de dimensions menors de 5, espais localment homeomorfs dels espais euclidians, des de dimensió zero fins a la quarta. Els seus mètodes s'inspiren en la geometria i la topologia de fenòmens físics inclusivament relativistes i quàntics, i idealitzacions abstractes modernes sobre el concepte de dimensions: sobretot en tres i quatre dimensions.

Per a aquesta ciència -que estudia les varietats i els encaixos, i els encaixos propis entre aquestes-, alguns dels temes representatius són: la teoria de nusos; classificació de 3 i 4-varietats; complements de nusos en la n-esfera, i la teoria topològica quàntica de camp. S n {\displaystyle S^{n}}

La topologia de dimensions baixes (com també se la coneix) es considera una ciència de gran interactivitat entre totes la branques de la matemàtica i amb altres de la física. Una de les qüestions importants d'aquesta branca (resolta per Perelman al 2006) és la cèlebre conjectura de Poincaré i la conjectura de geometrització de Thruston.

Tòpics

1-varietats

  • corba: parametrització d'un camí diferenciable entre dos punts en algun espai,
  • trajectòria: gairebé com una corba, però no necessàriament diferenciable, només se'n demana continuïtat,
  • circumferència o 1-esfera: qualsevol trajectòria, camí o corba tancada simple,
  • grup fonamental: functor de la topologia algebraica que assigna a un espai, X, el seu grup fonamental

  
    
      
        
          π
          
            1
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle \pi _{1}(X)}
  



  
    
      
        
          π
          
            1
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle \pi _{1}(X)}
  
 (X) {\displaystyle \pi _{1}(X)}
  
    
      
        
          π
          
            1
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle \pi _{1}(X)}
  • nus: en l'espai X, és un subconjunt K de X, que és homeomorf a l'esfera u,
  • enllaç: conjunt de components S 1 {\displaystyle S^{1}} connexes, cada component homeomorfa a S S 1 {\displaystyle S^{1}} {\displaystyle S^{1}} S 1 {\displaystyle S^{1}}
  • trena (braid): conjunt unidimensional que té el tipus homotòpic d'un wedge de circumferència,
  • grup de trenes (braid group),
  • nus tòric: corba tancada simple en la superfície del toro.

2-varietats

  • superfície: la corfa d'objectes tridimensionals. Objectes localment homeomorfs a

  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  
 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  
}}
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  • esfera,
  • toro (matemàtiques),
  • plànol projectiu: espai bidimensional construït en identificar la frontera d'una cinta de Möbius i la frontera d'un disc,
  • ampolla de Klein: espai que es crea, en unir la frontera de dues cintes de Möbius,
  • cèrcol o cilindre: I-bundle trivial sobre la 1-esfera,
  • cinta de Möbius: fibrat no trivial per interval sobre un cercle (I-bundle over S¹),
  • característica d'Euler: igual a nombre de vèrtexs menys nombre de costats, més nombre de cares. És invariant en posar més vèrtexs i, per tant, costats i cares,
  • Plànol complex:

  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
 {\displaystyle \mathbb {C} }
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  



  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  
 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  
}}
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  • Curvatura de superfícies: concepte de mesura de com es corben les superfícies localment, tenint com a patró l'esfera de ràdio r que es corba localment 1/r² en cadascun dels seus punts. Observeu que com més gran en sigael radi, la curvatura tendeix a zero (que és la curvatura del pla). Dit d'altra manera: un plànol és com una esfera de radi infinit.

3-varietats

Esquema simplificat d'una tres-varietat hiperbòlica

4-varietats

Varietats en general

* Prisma
  • tetraedro
  • homeomorfismo
  • Homotopía
  • Homeotopía
  • función circular
  • LS-categoría
  • Descomposición de Heegaard
  • Suma conexa
  • Teorema de Jordan-Schönflies
  • Teoría de calibración
  • Topología PL
  • Fibrado (bundle)
  • Variedad de Riemann
  • Chern-Simons
  • Clase característica
  • Orbifold
  • Twistor
  • Spinor
  • Tensor de curvatura
  • Grupo de Lie
  • Cálculo de variaciones
  • Mecánica clásica
  • cubierta ramificada
  • Flujo de Ricci
  • Cubo con asas

Persones

Celebritats de la topologia de dimensions baixes

Vegeu també

Enllaços externs

  • En l'enciclopèdia en línia de Springer-Verlag[1].