Teorema de la funció oberta

En matemàtiques hi ha dos teoremes amb el nom de teorema de la funció oberta.

Anàlisi funcional

En anàlisi funcional, on també es coneix amb el nom de teorema de l'aplicació oberta, el teorema diu que^[1]si ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ són espais de Banach i ${\displaystyle L:X\to Y}$ és una aplicació lineal, contínua i exhaustiva, aleshores ${\displaystyle L}$ és una aplicació oberta, és a dir, si ${\displaystyle U}$ és un obert de ${\displaystyle X}$, aleshores necessàriament ${\displaystyle L(U)}$ també és un obert de ${\displaystyle Y}$.

La demostració utilitza el teorema de la categoria de Baire.

Aquest teorema de la funció (o aplicació) oberta té dues conseqüències importants:

• Si ${\displaystyle L:X\to Y}$ és un operador lineal continu i bijectiu entre dos espais de Banach ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ , aleshores l'operador invers ${\displaystyle L^{-1}:Y\to X}$ també és continu.
• Si ${\displaystyle L:X\to Y}$ és un operador lineal entre dos espais de Banach ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ i si per a cada successió ${\displaystyle (x_{n})}$ de ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle x_{n}\to 0}$ i tal que ${\displaystyle Lx_{n}\to y}$ es compleix que necessàriament ${\displaystyle y=0}$, aleshores ${\displaystyle L}$ és continu (teorema de la gràfica tancada).

Anàlisi complexa

A l'anàlisi complexa, el teorema de la funció oberta diu que^[2]si ${\displaystyle \Omega }$ és un obert connex del pla complex ${\displaystyle \mathbb {C} }$ i ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$ és una funció holomorfa no constant, aleshores ${\displaystyle f}$ és una funció oberta, és a dir, que envia oberts de ${\displaystyle \Omega }$ en oberts de ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Referències