Aquesta és una llista de transformacions canòniques de coordenades.
Bidimensionals
Siguin (x, y) les coordenades cartesianes estàndard, i r i θ los coordenades polars estàndard.
Per passar de coordenades polars a coordenades cartesianes
![{\displaystyle x=r\,\cos \theta \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a2c409728b72f5fb4e1a9437aac30e8b6592f05)
![{\displaystyle y=r\,\sin \theta \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c8b8f16619f0e625849904527b88922539c7e5)
![{\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\,\sin \theta \\\sin \theta &r\,\cos \theta \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7801b8cfb04ca62428ffeca92081130a8b299a1a)
![{\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}=r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4c6b6fd7c43b6a74594b9be20ae59683f274035)
Per passar de coordenades cartesianes a coordenades polars
![{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66fcac81cfac010069078ce8c999bd09f285567f)
![{\displaystyle \theta ^{\prime }=\arctan \left|{\frac {y}{x}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/722460e41bd329ab37806aacb5d73ffc100d13d1)
Nota: al resoldre
s'obté l'angle resultant en el primer quadrant (
). Per torbar
, cal acudir al sistema de coordenades cartesianes original, determinar el quadrant en el que està
(per exemple el punt de coordenades cartesianes (3,-3) està al quart quadrant), i llavors fer servir les següents equacions per calcular
:
- Si
està al primer quadrant: ![{\displaystyle \theta =\theta ^{\prime }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43b311c672227760921093764cbfd9d526afcd3a)
- Si
està al segon quadrant: ![{\displaystyle \theta =\pi -\theta ^{\prime }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9628fd585abe253190305badd5797da658f8be8)
- Si
està al tercer quadrant: ![{\displaystyle \theta =\pi +\theta ^{\prime }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81458ab3a1830b924fa6cde6b10e7b9402fb0a8e)
- Si
està al quart quadrant: ![{\displaystyle \theta =2\pi -\theta ^{\prime }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/339bb51716ea01e793dd3a5bf662589388e12fb9)
Això cal fer-hi així perquè per a tots els valors de
,
només està definit per
Fixeu-vos que també es pot fer servir
![{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66fcac81cfac010069078ce8c999bd09f285567f)
![{\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {y}{x+r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c877714a5219ed553167a2f53e5d44d44cf2b342)
De coordenades bipolars a coordenades cartesianes
![{\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8038c012c5ae8c37a666ae513ef4f2fc1ec3d455)
![{\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04cde3338cb185300dfc6a71418a84e7b1a09869)
De coordenades bipolars de dos centres a coordenades cartesianes[1]
![{\displaystyle x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{4c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56251ba4429e6821412250901cc562fef73a0cc6)
![{\displaystyle y=\pm {\frac {1}{4c}}{\sqrt {16c^{2}r_{1}^{2}-(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+4c^{2})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8135fc1d9568cb69969f91ba54b6124f706093)
De coordenades bipolars de dos centres a coordenades polars
![{\displaystyle r={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2}}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8276a795f932df3facc3b89dba787c5dec56345)
![{\displaystyle \theta =\arctan \left[{\sqrt {{\frac {8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2})}{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}-1}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010a0c267d31acc3d2a743ad7a94ee3e2efaacf9)
On 2c és la distància entre els pols.
De coordenades de l'equació de Cesàro a coordenades cartesianes
![{\displaystyle x=\int \cos \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02cff907588352a0c15c8e8ecb7e972c745f378f)
![{\displaystyle y=\int \sin \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71982132e04a316224eeb7859edb3ae157a2f402)
Curvatura i longitud de l'arc a partir de coordenades cartesianes
Curvatura i longitud de l'arc a partir de coordenades polars
Tridimensionals
Sigui (x, y, z) les coordenades cartesianes estàndard, i (ρ, θ, φ) les coordenades esfèriques, amb l'angle φ mesurat a partir de l'eix Z positiu. Com que θ té un recorregut de 360° cal aplicar les mateixes consideracions que en coordenades polars (de dues dimensions) sempre que es calculi a partir de la funció arctangent. φ té un recorregut de 180°, i va des de 0° fins a 180°, i no presenta cap problema quan es calcula a partir de la funció arccosinus, però cal anar amb compte si es fa servir una funció arctangent. Si, en la definició alternativa de coordenades esfèriques, es tria φ de forma que vagui des de −90° fins a +90°, en direcció oposada a la direcció prèvia, es pot calcular de manera única a partir de la funció arcsinus, però cal anar amb compte di es fa servir l'arctangent. En aquest cas totes les fórmules següents tots els arguments de φ han te tenir el sinus i el cosinus intercanviats i com a derivades també els signes menys i més s'han d'intercanviar.
Totes les fórmules que portin cap a una fracció amb zero al denominador, corresponen a casos especials de direccions al llarg dels eixos principals i a la pràctica se solucionen més fàcilment per observació.
A coordenades cartesianes
A partir de coordenades esfèriques
![{\displaystyle {x}=\rho \,\sin \theta \,\cos \phi \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f1a100a819498b75388df6d41e4c6d10268d458)
![{\displaystyle {y}=\rho \,\sin \theta \,\sin \phi \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ad964d1240a8f753488390aaf1306c52a05a0d)
![{\displaystyle {z}=\rho \,\cos \theta \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10bf1ac175fe3870c1b76f485958ba51f6ffaf42)
![{\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\rho \cos \theta \cos \phi &-\rho \sin \theta \sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \sin \phi &\rho \sin \theta \cos \phi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358eb66cb07df83c537471cae48c7a10d939d78)
Per tant, l'element de volum és:
![{\displaystyle dx\;dy\;dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}d\rho \;d\theta \;d\phi =\rho ^{2}\sin \theta \;d\rho \;d\theta \;d\phi \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4c109aa4725378d5069989428d2b5acf438cb08)
= A partir de coordenades cilíndriques
![{\displaystyle {x}={r}\,\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dee8fd23bf6c5d6e4ebf654aab98e103aebc1ee)
![{\displaystyle {y}={r}\,\sin \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b5804a3dbb9eff8327fbc092de56a6e9b8c0f2)
![{\displaystyle {z}={h}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66509ba4a77c0c4adb58ce00856ef55b918e328c)
![{\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,h)}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512f7418539f42e2235fdf7b4381ce4fbfa51970)
Per tant l'element de volum és:
![{\displaystyle dx\;dy\;dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,h)}}dr\;d\theta \;dh={r}\;dr\;d\theta \;dh\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106656c56c1a16c7481f2f49110aceb12f352be0)
A coordenades esfèriques
A partir de coordenades cartesianes
![{\displaystyle {\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c46ef125ca8b51915076ed223ac8b1e4562ca4f)
![{\displaystyle {\theta }=\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)=\arccos \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cfbd7e98e044081f52953347eb138fd094ebe76)
![{\displaystyle {\phi }=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b97c5da07e09edbecd471eb6c269572816b5b8)
![{\displaystyle {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\rho }}&{\frac {y}{\rho }}&{\frac {z}{\rho }}\\{\frac {xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a6896e749532bc1ded544b618ef0163c1251b2a)
A partir de coordenades cilíndriques
![{\displaystyle {\rho }={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ff30687d4267ba5b72088575aa26c9901669241)
![{\displaystyle {\theta }=\theta \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c79b18c29eed4a21cb66b519424d469e39b2ad71)
![{\displaystyle {\phi }=\arctan {\frac {r}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/254d8db4ed71bc9b9ac97bda22be67c62b0cac04)
![{\displaystyle {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (r,\theta ,h)}}={\begin{pmatrix}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}&0&{\frac {h}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}\\0&1&0\\{\frac {-h}{r^{2}+h^{2}}}&0&{\frac {r}{r^{2}+h^{2}}}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65cd8b5e39f9613854086d19d411ad840f23c960)
![{\displaystyle \det {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (r,\theta ,h)}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd187af272244cb3e0ac0286dac6de6a198f295)
A coordenades cilíndriques
A partir de coordenades cartesianes
![{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66fcac81cfac010069078ce8c999bd09f285567f)
![{\displaystyle \theta =\arctan {\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24bc2927f808fe722e0fda99756fd2a865c27686)
![{\displaystyle h=z\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13a48e136b13f3d254fd506d4b170e011d5d82d2)
![{\displaystyle {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5785be185509caf5fa47d6a8eef52bcfc0b6fb4e)
A partir de coordenades esfèriques
![{\displaystyle r=\rho \sin \phi \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac93825c95fa9aca454530f3b414d648f74943b2)
![{\displaystyle \theta =\theta \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe0259a58fa144c0fc3fcb5baf3292d3e697d1e)
![{\displaystyle h=\rho \cos \phi \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c5b12454d2bd0d623759b1e147900e9de50503)
![{\displaystyle {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{pmatrix}\sin \phi &0&\rho \cos \phi \\0&1&0\\\cos \phi &0&-\rho \sin \phi \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa5d5f2ce63286e838342507e2b47ab3b1642e8)
![{\displaystyle \det {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}=-\rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89766b8f748dffc1e870e0cfcb570faf42853a4)
Element de longitud de l'arc, curvatura i torsió a partir de coordenades cartesianes
![{\displaystyle s=\int _{0}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdfb03d065ff66926f0af87b5544b5a1ed69b077)
![{\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {(z''y'-z'y'')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/447ba1ddfe1d2bd0ea93a0214f37e6a5ea0ccb96)
![{\displaystyle \tau ={\frac {z'''(x'y''-y'x'')+z''(x'''y'-x'y''')+z'(x''y'''-x'''y'')}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})(x''^{2}+y''^{2}+z''^{2})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed573df320adb2bbea930c0fd54ae149ea8f1a6b)
Referències
- ↑ Weisstein, Eric W.. "Bipolar Coordinates." Treasure Troves. 26 May 1999. Sociology and Anthropology China. 14 Feb 2007 «bbs.sachina.pku.edu.cn». Arxivat de l'original el 2007-12-12. [Consulta: 30 setembre 2008].