Homomorfisme dual

Aquest article podria incomplir els criteris generals d'admissibilitat.
Milloreu-lo amb referències que demostrin que es tracta d'un tema admissible o bé podria entrar en un procés d'esborrament o fusió.

Si φ : M ⟶ N {\displaystyle \varphi :M\longrightarrow N} és un homomorfisme entre dues estructures lineals (dos mòduls sobre el mateix anell o dos espais vectorials sobre el mateix cos A {\displaystyle A} ) hi ha un únic homomorfisme

φ ∗ : N ∗ ⟶ M ∗ {\displaystyle \varphi ^{\ast }:N^{\ast }\longrightarrow M^{\ast }\,}

entre les respectives estructures duals que compleix

⟨ m , φ ∗ ( ν ) ⟩ = ⟨ φ ( m ) , ν ⟩ , m ∈ M , ν ∈ N ∗ {\displaystyle \langle m,\varphi ^{\ast }(\nu )\rangle =\langle \varphi (m),\nu \rangle \,,\quad m\in M\,,\quad \nu \in N^{\ast }\,}

Aquest homomorfisme, φ ∗ {\displaystyle \varphi ^{\ast }} , és l'homomorfisme dual de l'homomorfisme φ {\displaystyle \varphi } .

Existència i unicitat

Existència

La relació

⟨ m , φ ∗ ( ν ) ⟩ = ⟨ φ ( m ) , ν ⟩ , m ∈ M , ν ∈ N ∗ {\displaystyle \langle m,\varphi ^{\ast }(\nu )\rangle =\langle \varphi (m),\nu \rangle \,,\quad m\in M\,,\quad \nu \in N^{\ast }\,}

defineix efectivament una única forma lineal a M ∗ {\displaystyle M^{\ast }} . En efecte, del fet que la forma bilineal canònica de M × M ∗ {\displaystyle M\times M^{\ast }} és no degenerada en resulta que, si

∀ m ∈ M , ⟨ m , μ 1 ⟩ = ⟨ m , μ 2 ⟩ = ⟨ φ ( m ) , ν ⟩ , μ 1 , μ 2 ∈ M ∗ , ν ∈ N ∗ {\displaystyle \forall m\in M\,,\,\langle m,\mu _{1}\rangle =\langle m,\mu _{2}\rangle =\langle \varphi (m),\nu \rangle \,,\quad \mu _{1},\mu _{2}\in M^{\ast }\,,\quad \nu \in N^{\ast }\,}

μ 1 − μ 2 {\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}} pertany al subespai nul de la forma bilineal i, com que és no degenerada, és zero i μ 1 = μ 2 = φ ∗ ( ν ) {\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=\varphi ^{\ast }(\nu )} . La linealitat de la forma φ ∗ ( ν ) {\displaystyle \varphi ^{\ast }(\nu )} és, també immediata:

⟨ m , φ ∗ ( λ 1 ν 1 + λ 2 ν 2 ) ⟩ = ⟨ φ ( m ) , λ 1 ν 1 + λ 2 ν 2 ⟩ = λ 1 ⟨ φ ( m ) , ν 1 ⟩ + λ 2 ⟨ φ ( m ) , ν 2 ⟩ = = λ 1 ⟨ m , φ ∗ ( ν 1 ) ⟩ + λ 2 ⟨ m , φ ( ν 2 ) ⟩ = = ⟨ m , λ 1 φ ∗ ( ν 1 ) + λ 2 φ a s t ( ν 2 ) ⟩ , m ∈ M , ν 1 , ν 2 ∈ N ∗ , λ 1 , λ 2 ∈ A {\displaystyle {\begin{aligned}\langle m,\varphi ^{\ast }\left(\lambda _{1}\nu _{1}+\lambda _{2}\nu _{2}\right)\rangle &=\langle \varphi (m),\lambda _{1}\nu _{1}+\lambda _{2}\nu _{2}\rangle =\lambda _{1}\langle \varphi (m),\nu _{1}\rangle +\lambda _{2}\langle \varphi (m),\nu _{2}\rangle =\\&=\lambda _{1}\langle m,\varphi ^{\ast }\left(\nu _{1}\right)\rangle +\lambda _{2}\langle m,\varphi \left(\nu _{2}\right)\rangle =\\&=\langle m,\lambda _{1}\varphi ^{\ast }\left(\nu _{1}\right)+\lambda _{2}\varphi ^{ast}\left(\nu _{2}\right)\rangle \,,\quad m\in M\,,\quad \nu _{1},\nu _{2}\in N^{\ast }\,,\quad \lambda _{1},\lambda _{2}\in A\end{aligned}}\,}

Unicitat

La mateixa argumentació, basada en la no degeneració de la forma bilineal canònica sobre M × M ∗ {\displaystyle M\times M^{\ast }} , mostra la unicitat de l'homomorfisme dual: si

∀ m ∈ M , ∀ ν ∈ N ∗ , ⟨ m , φ 1 ∗ ( ν ) ⟩ = ⟨ m , φ 2 ∗ ( ν ) ⟩ = ⟨ φ ( m ) , ν ⟩ {\displaystyle \forall m\in M\,,\,\forall \nu \in N^{\ast }\,,\,\langle m,\varphi _{1}^{\ast }(\nu )\rangle =\langle m,\varphi _{2}^{\ast }(\nu )\rangle =\langle \varphi (m),\nu \rangle \,}

resulta

∀ m ∈ M , ∀ ν ∈ N ∗ , ⟨ m , φ 1 ∗ ( ν ) − φ 2 ∗ ( ν ) ⟩ = 0 {\displaystyle \forall m\in M\,,\,\forall \nu \in N^{\ast }\,,\,\langle m,\varphi _{1}^{\ast }(\nu )-\varphi _{2}^{\ast }(\nu )\rangle =0\,}

és a dir,

∀ ν ∈ N ∗ , φ 1 ∗ ( ν ) − φ 2 ∗ ( ν ) = 0 {\displaystyle \forall \nu \in N^{\ast }\,,\,\varphi _{1}^{\ast }(\nu )-\varphi _{2}^{\ast }(\nu )=0\,}

i φ 1 ∗ = φ 2 ∗ {\displaystyle \varphi _{1}^{\ast }=\varphi _{2}^{\ast }} .

Propietats

Les següents propietats són immediates:

  • ( λ φ + μ ψ ) ∗ = λ φ ∗ + μ ψ ∗ , λ , μ ∈ A {\displaystyle \left(\lambda \varphi +\mu \psi \right)^{\ast }=\lambda \varphi ^{\ast }+\mu \psi ^{\ast }\,,\quad \lambda ,\mu \in A}
  • ( φ ∘ ψ ) ∗ = ψ ∗ ∘ φ ∗ {\displaystyle \left(\varphi \circ \psi \right)^{\ast }=\psi ^{\ast }\circ \varphi ^{\ast }}

Nuclis i imatges duals

Entre els nuclis i imatges d'homomorfismes duals en resulten les següents relacions de dualitat

( φ ( M ) ) ∗ = N ∗ / ker ⁡ φ ∗ {\displaystyle \left(\varphi (M)\right)^{\ast }=N^{\ast }/\ker \varphi ^{\ast }\,}

( M / ker ⁡ φ ) ∗ = φ ∗ ( N ∗ ) {\displaystyle \left(M/\ker \varphi \right)^{\ast }=\varphi ^{\ast }\left(N^{\ast }\right)\,}

perquè les dues formes bilineals

φ ( M ) × N ∗ / ker ⁡ φ ∗ ⟶ A {\displaystyle \varphi (M)\times N^{\ast }/\ker \varphi ^{\ast }\longrightarrow A\,}

M / ker ⁡ φ × φ ∗ ( N ∗ ) ⟶ A {\displaystyle M/\ker \varphi \times \varphi ^{\ast }\left(N^{\ast }\right)\longrightarrow A\,}

⟨ φ ( m ) , ν ~ ⟩ = ⟨ φ ( m ) , ν ⟩ {\displaystyle \langle \varphi (m),{\tilde {\nu }}\rangle =\langle \varphi (m),\nu \rangle \,}

⟨ m ~ , φ ∗ ( ν ) ⟩ = ⟨ m , φ ∗ ( ν ) ⟩ {\displaystyle \langle {\tilde {m}},\varphi ^{\ast }(\nu )\rangle =\langle m,\varphi ^{\ast }(\nu )\rangle \,}

són no degenerades i, en conseqüència, tenen aquestes relacions de dualitat.

Aplicacions duals entre espais vectorials de dimensió finita

Si M {\displaystyle M} i N {\displaystyle N} són espais vectorials de dimensió finita, també ho són els duals M ∗ {\displaystyle M^{\ast }} i N ∗ {\displaystyle N^{\ast }} i els subespais ker ⁡ φ {\displaystyle \ker \varphi } , φ ( M ) {\displaystyle \varphi (M)} , ker ⁡ φ ∗ {\displaystyle \ker \varphi ^{\ast }} , φ ∗ ( N ∗ ) {\displaystyle \varphi ^{\ast }\left(N^{\ast }\right)} i, de les relacions de dualitat ja establertes, en resulta

dim ⁡ M = dim ⁡ M ∗ {\displaystyle \dim M=\dim M^{\ast }\,}

dim ⁡ N = dim ⁡ N ∗ {\displaystyle \dim N=\dim N^{\ast }\,}

dim ⁡ φ ( M ) = dim ⁡ N ∗ / ker ⁡ φ ∗ {\displaystyle \dim \varphi (M)=\dim N^{\ast }/\ker \varphi ^{\ast }\,}

dim ⁡ M / ker ⁡ φ = φ ∗ ( N ∗ ) {\displaystyle \dim M/\ker \varphi =\varphi ^{\ast }\left(N^{\ast }\right)\,}

que, junt amb els isomorfismes

M / ker ⁡ φ = φ ( M ) {\displaystyle M/\ker \varphi =\varphi (M)\,}

N ∗ / ker ⁡ φ ∗ = φ ∗ ( N ) {\displaystyle N^{\ast }/\ker \varphi ^{\ast }=\varphi ^{\ast }(N)\,}

dona

dim ⁡ φ ( M ) = dim ⁡ φ ∗ ( N ∗ ) {\displaystyle \dim \varphi (M)=\dim \varphi ^{\ast }\left(N^{\ast }\right)\,}

i dues aplicacions duals, φ {\displaystyle \varphi } i φ ∗ {\displaystyle \varphi ^{\ast }} tenen el mateix rang.

Matrius d'aplicacions duals

Si M {\displaystyle M} , M ∗ {\displaystyle M^{\ast }} i N {\displaystyle N} , N ∗ {\displaystyle N^{\ast }} són parelles duals d'espais vectorials de dimensió finita, φ : M ⟶ N {\displaystyle \varphi :M\longrightarrow N} i φ ∗ : N ∗ ⟶ M ∗ {\displaystyle \varphi ^{\ast }:N^{\ast }\longrightarrow M^{\ast }} són dos homomorfismes duals i

B M = { u 1 , u 2 , … u m } {\displaystyle {\mathcal {B}}_{M}=\left\{u_{1},u_{2},\ldots u_{m}\right\}\,}

B M ∗ = { u 1 ∗ , u 2 ∗ , … u m ∗ } {\displaystyle {\mathcal {B}}_{M^{\ast }}=\left\{u_{1}^{\ast },u_{2}^{\ast },\ldots u_{m}^{\ast }\right\}\,}

B N = { v 1 , v 2 , … u n } {\displaystyle {\mathcal {B}}_{N}=\left\{v_{1},v_{2},\ldots u_{n}\right\}\,}

B N ∗ = { v 1 ∗ , v 2 ∗ , … v n ∗ } {\displaystyle {\mathcal {B}}_{N^{\ast }}=\left\{v_{1}^{\ast },v_{2}^{\ast },\ldots v_{n}^{\ast }\right\}\,}

en són les respectives bases i bases duals, la matriu de l'homomorfisme φ {\displaystyle \varphi } consisteix en les m {\displaystyle m} columnes φ ( u j ) , j = 1 , … , m {\displaystyle \varphi (u_{j})\,,\,j=1,\ldots ,m} , cadascuna amb n {\displaystyle n} elements. De la definició de base dual en resulta que l'element de la fila i {\displaystyle i} columna j {\displaystyle j} d'aquesta matriu és:

φ ⟷ ( ⟨ φ ( u j ) , v i ∗ ⟩ ) {\displaystyle \varphi \quad \longleftrightarrow \quad {\begin{pmatrix}\langle \varphi \left(u_{j}\right),v_{i}^{\ast }\rangle \end{pmatrix}}\,}

D'altra banda, si convenim a disposar els elements dels duals com a vectors fila, la matriu de l'homomorfisme dual φ ∗ {\displaystyle \varphi ^{\ast }} consisteix en les n {\displaystyle n} files φ ∗ ( v i ∗ ) , i = 1 , … , n {\displaystyle \varphi ^{\ast }(v_{i}^{\ast })\,,\,i=1,\ldots ,n} , cadascuna amb m {\displaystyle m} elements. De la definició de base dual en resulta que l'element de la fila i {\displaystyle i} columna j {\displaystyle j} d'aquesta matriu és:

φ ∗ ⟷ ( ⟨ u j , φ ∗ ( v i ∗ ) ⟩ ) {\displaystyle \varphi ^{\ast }\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{pmatrix}\langle u_{j},\varphi ^{\ast }\left(v_{i}^{\ast }\right)\rangle \end{pmatrix}}\,}

i, com que ⟨ φ ( u j ) , v i ∗ ⟩ = ⟨ u j , φ ∗ ( v i ∗ ) ⟩ {\displaystyle \langle \varphi \left(u_{j}\right),v_{i}^{\ast }\rangle =\langle u_{j},\varphi ^{\ast }\left(v_{i}^{\ast }\right)\rangle } , resulta que ambdues matrius són idèntiques. Però, si convenim a disposar els elements del dual com a vectors columna, aleshores una matriu és la matriu transposada de l'altra.

Això i que els rangs de φ {\displaystyle \varphi } i de φ ∗ {\displaystyle \varphi ^{\ast }} són iguals mostra que, en una matriu, el rang per files i el rang per columnes és el mateix i es pot parlar, doncs, del rang d'una matriu.

Vegeu també

  • Estructures lineals duals
  • Forma lineal